Основные определения колебаний

Колебания и их природа

Колебания — фундаментальное физическое явление, характеризующееся повторяющимися во времени изменениями состояния системы. Они широко распространены в природе и технике.

Особенность: Колебательные процессы встречаются на всех масштабах — от атомных и молекулярных до космических.

Классификация колебаний

Свободные колебания

Колебания, которые происходят только под действием внутренних сил системы после выведения её из положения равновесия.

Собственная частота — частота свободных колебаний, зависящая только от параметров системы.

Вынужденные колебания

Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы. Частота вынужденных колебаний равна частоте внешней вынуждающей силы.

Особенность: Амплитуда зависит от соотношения частот вынуждающей силы и собственной частоты системы.

Незатухающие колебания

Идеализированные колебания, происходящие в системе без трения и сопротивления. В реальных системах всегда присутствуют силы трения, поэтому колебания затухают.

Затухающие колебания

Реальные колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени из-за диссипативных сил (трения, сопротивления среды).

Гармонические колебания

Гармонические колебания — особый тип колебаний, при которых физическая величина изменяется по закону синуса или косинуса. Они являются фундаментальными для понимания более сложных колебательных процессов.

Уравнение гармонических колебаний

x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)

x(t)

Смещение в момент времени t

Амплитуда колебаний

Циклическая частота [рад/с]

φ₀

Начальная фаза [рад]

Гармонический осциллятор

Система, совершающая гармонические колебания. Простейшими примерами являются:

Пружинный маятник
Математический маятник
Физический маятник
Электрический колебательный контур

Явление резонанса

Резонанс — важное физическое явление, при котором происходит резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний системы при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой колебаний системы.

Условие резонанса

\omega = \omega_0

Частота вынуждающей силы

ω₀

Собственная частота системы

Практическое значение

Настройка музыкальных инструментов
Радиотехника и электроника
Сейсмостойкое строительство
Медицинская диагностика (МРТ)
Разрушение конструкций (резонансные явления)

Важно: При резонансе даже небольшая периодическая сила может вызвать значительные колебания системы, что в некоторых случаях может привести к разрушению.

Основные характеристики колебаний

Амплитуда (A)

Максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия. Амплитуда измеряется в тех же единицах, что и сама колеблющаяся величина. Например, в механических колебаниях амплитуда измеряется в метрах, а в электромагнитных колебаниях — в вольтах (для напряжения) или амперах (для тока).

Пример: Для маятника — максимальное расстояние от положения равновесия.

Период (T)

Время, за которое система совершает одно полное колебание. Измеряется в секундах.

T = \frac{1}{\nu} = \frac{2\pi}{\omega}

Частота (ν)

Количество полных колебаний в единицу времени. Измеряется в герцах (Гц).

\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}

Фаза (φ)

Аргумент периодической функции, описывающей колебательный процесс. Определяет состояние колебательной системы в данный момент времени.

\varphi = \omega t + \varphi_0

Практическое применение колебаний

В технике

Часы и хронометры
Радиотехника и связь
Акустические системы
Сейсмостойкие конструкции
Вибрационная техника
Ультразвуковая обработка

В природе

Биологические ритмы
Сердечные сокращения
Дыхательные движения
Сейсмические волны
Приливы и отливы
Колебания атмосферного давления

Историческая справка

Изучение колебаний началось с наблюдений за движением маятника. Галилео Галилей в конце XVI века открыл изохронность малых колебаний маятника и предложил использовать его для измерения времени.

В XVII-XVIII веках Христиан Гюйгенс разработал маятниковые часы, а Леонард Эйлер, Даниил Бернулли и Жан Лерон Д'Аламбер заложили математические основы теории колебаний.

Затухающие колебания: график зависимости смещения от времени с экспоненциальным уменьшением амплитуды — Рис.2. Затухающие колебания

Гармонические колебания

Основные понятия гармонических колебаний

Гармонические колебания — периодические изменения физической величины, описываемые синусоидальной или косинусоидальной функцией. Это фундаментальный тип колебаний, встречающийся в различных физических системах.

Основные характеристики колебаний

Период колебаний (T)

T = \frac{t}{N}

Время одного полного колебания. Измеряется в секундах [с].

Частота колебаний (ν)

\nu = \frac{N}{t}

Количество полных колебаний в секунду. Измеряется в герцах [Гц] = [с⁻¹].

Связь периода и частоты

\nu = \frac{1}{T}

Частота и период — обратные величины.

Циклическая (угловая) частота (ω)

\omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T}

Количество колебаний за 2π секунд. Измеряется в радианах в секунду [рад/с].

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Гармонические колебания возникают в механической системе, если из законов динамики можно получить уравнение:

\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0

или в сокращенной записи: $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$

Общее решение уравнения

x(t) = A\cos(\omega t + \phi_0)

x(t) = A\sin(\omega t + \phi_0)

Выбор между синусом и косинусом определяется начальными условиями системы.

Кинематические характеристики гармонических колебаний

Координата (смещение)

x(t) = x_m\cos(\omega t + \phi_0)

Параметры:

x_m — амплитуда [м]
ω — циклическая частота [рад/с]
t — время [с]
ϕ₀ — начальная фаза [рад]

Скорость

v(t) = -x_m\omega\sin(\omega t + \phi_0)

v_m = x_m\omega

Параметры:

v_m — амплитуда скорости [м/с]
Скорость опережает смещение на π/2

Ускорение

a(t) = -x_m\omega^2\cos(\omega t + \phi_0)

a_m = x_m\omega^2

Параметры:

a_m — амплитуда ускорения [м/с²]
Ускорение в противофазе со смещением

Фазовые соотношения

Величина	Формула	Фазовый сдвиг
Смещение	$x_m\cos(\omega t + \phi_0)$	0
Скорость	$-x_m\omega\sin(\omega t + \phi_0)$	+π/2 (опережение)
Ускорение	$-x_m\omega^2\cos(\omega t + \phi_0)$	+π (противофаза)

Энергия гармонических колебаний

Кинетическая энергия

E_к = \frac{mv^2}{2} = \frac{m\omega^2 x_m^2}{2}\sin^2(\omega t + \phi_0)

E_к = \frac{mv^2}{2} = \frac{m\omega^2 x_m^2}{2}\sin^2(\omega t + \phi_0)

Потенциальная энергия

E_п = \frac{kx^2}{2} = \frac{m\omega^2 x_m^2}{2}\cos^2(\omega t + \phi_0)

E_п = \frac{kx^2}{2} = \frac{m\omega^2 x_m^2}{2}\cos^2(\omega t + \phi_0)

Полная энергия

E = E_к + E_п = \frac{m\omega^2 x_m^2}{2} = \frac{k x_m^2}{2}

E = E_к + E_п = \frac{m\omega^2 x_m^2}{2} = \frac{k x_m^2}{2}

Полная энергия гармонического осциллятора сохраняется и пропорциональна квадрату амплитуды.

Практическое применение

В физике и технике

Пружинные и математические маятники
Электрические колебательные контуры
Акустические системы и музыкальные инструменты
Сейсмология и изучение землетрясений

В природе и быту

Колебания маятника часов
Вибрации струн музыкальных инструментов
Колебания мостов и зданий
Биологические ритмы и сердечные сокращения

График гармонических колебаний с обозначением амплитуды, периода и фазы — Рис.3. Гармонические колебания

Пружинный маятник

Механическая система, состоящая из груза массой m, прикрепленного к пружине с жесткостью k, способная совершать гармонические колебания под действием силы упругости.

Горизонтальный маятник

Колебания происходят без влияния силы тяжести. Положение равновесия соответствует недеформированной пружине.

Вертикальный маятник

Колебания происходят под действием силы тяжести и силы упругости. Положение равновесия соответствует растянутой пружине.

Основные характеристики

Циклическая частота

\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

Циклическая частота [рад/с]

Жёсткость пружины [Н/м]

Масса груза [кг]

Период колебаний

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

Период колебаний [с]

Частота: $f = \frac{1}{T}$ [Гц]

Вертикальный пружинный маятник

В вертикальном пружинном маятнике сила тяжести вызывает статическое растяжение пружины, но не влияет на период колебаний.

Статическое растяжение

\Delta L = \frac{mg}{k}

ΔL

Растяжение пружины [м]

Масса груза [кг]

Жёсткость пружины [Н/м]

Важно: Период колебаний вертикального пружинного маятника такой же, как и у горизонтального: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Закон сохранения энергии

В идеальном пружинном маятнике (без трения) полная механическая энергия сохраняется, переходя из кинетической в потенциальную и обратно.

\frac{mv_m^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \frac{kx_m^2}{2} = \text{const}

\frac{mv_m^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \frac{kx_m^2}{2} = \text{const}

Кинетическая энергия

E_к = \frac{mv^2}{2}

Максимальна при прохождении положения равновесия (x = 0)

Потенциальная энергия

E_п = \frac{kx^2}{2}

Максимальна в точках максимального отклонения (x = ±x_m)

Энергия в различные моменты времени

Положение	Кинетическая энергия	Потенциальная энергия	Полная энергия
Положение равновесия (x = 0)	$E_к = \frac{mv_m^2}{2}$	$E_п = 0$	$E = \frac{mv_m^2}{2}$
Максимальное отклонение (x = ±x_m)	$E_к = 0$	$E_п = \frac{kx_m^2}{2}$	$E = \frac{kx_m^2}{2}$
Произвольное положение	$E_к = \frac{mv^2}{2}$	$E_п = \frac{kx^2}{2}$	$E = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

Практическое применение

В технике

Амортизаторы транспортных средств
Виброизоляция оборудования
Измерительные приборы (акселерометры)
Часовые механизмы

В науке и быту

Изучение законов гармонических колебаний
Детские игрушки (пружинные игрушки)
Спортивный инвентарь (батуты)
Весы для измерения массы

Интересный факт

Период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды колебаний (при условии, что деформация пружины остается в пределах упругости). Это свойство называется изохронностью колебаний.

Примечание: В реальных системах всегда присутствуют силы трения, поэтому колебания являются затухающими. Энергия постепенно рассеивается, и амплитуда колебаний уменьшается с течением времени.

Схема пружинного маятника с обозначением параметров: масса m, жесткость k, амплитуда x_m — Рис.4. Пружинный маятник

Математический маятник

Математический маятник — идеализированная модель, представляющая собой материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити. Эта модель позволяет изучать основные законы колебательного движения.

Условия применимости: Формулы справедливы только для малых углов отклонения (до 5-10°).

Основные характеристики

Циклическая частота

\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}

Циклическая частота [рад/с]

Ускорение свободного падения [м/с²]

Длина нити [м]

Период колебаний

T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

Период колебаний [с]

Длина нити [м]

Ускорение свободного падения [м/с²]

Важно: Период колебаний математического маятника не зависит от массы груза и амплитуды колебаний (для малых углов).

Закон сохранения энергии

В идеальном математическом маятнике (без трения) полная механическая энергия сохраняется, переходя из потенциальной в кинетическую и обратно.

\frac{mv_m^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgh = mgH = \text{const}

\frac{mv_m^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgh = mgH = \text{const}

Масса груза [кг]

v_m

Макс. скорость [м/с]

Текущая высота [м]

Макс. высота [м]

В крайних положениях

В точках максимального отклонения скорость равна нулю, а потенциальная энергия максимальна:

E = mgH

В положении равновесия

В нижней точке траектории потенциальная энергия минимальна, а кинетическая максимальна:

E = \frac{mv_m^2}{2}

Дифференциальное уравнение движения

Движение математического маятника описывается дифференциальным уравнением, которое выводится из второго закона Ньютона.

\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0

Угол отклонения [рад]

Время [с]

g/l

Отношение параметров

Для малых углов

При малых углах отклонения (θ < 10°) уравнение упрощается, так как sinθ ≈ θ:

\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l} \theta = 0

Решение: θ(t) = θ₀ cos(ωt + φ), где ω = √(g/l)

Практическое применение

Историческое значение

Первые точные часы (маятниковые часы Гюйгенса)
Определение ускорения свободного падения
Демонстрация законов колебательного движения
Изучение преобразования энергии

Современное применение

Сейсмографы и приборы для регистрации колебаний
Учебные демонстрации в физике
Метрономы для музыкантов
Декоративные элементы (маятники Фуко)

Интересные факты

Маятник Фуко

В 1851 году Леон Фуко продемонстрировал вращение Земли с помощью маятника длиной 67 метров в Пантеоне в Париже. Плоскость колебаний маятника медленно поворачивается из-за вращения Земли.

Рекордные маятники

Самый длинный маятник Фуко имеет длину 98 метров и установлен в соборе Святого Исаака в Санкт-Петербурге. Период его колебаний составляет около 20 секунд.

Сравнение с другими типами маятников

Физический маятник

Реальное тело, совершающее колебания вокруг оси, не проходящей через центр масс. Его период зависит от момента инерции и расстояния до центра масс.

T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgl}}

Пружинный маятник

Груз, подвешенный на пружине. Период колебаний зависит от массы груза и жесткости пружины.

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

Схема математического маятника с обозначением основных параметров: длина нити, угол отклонения, силы — Рис.5. Математический маятник

Механические волны и звук

Механические волны

Процесс распространения колебаний частиц в упругой среде (газообразной, жидкой или твёрдой). При распространении волны отсутствует перенос вещества, но происходит передача энергии от одной точки среды к другой.

Типы механических волн

Продольные волны

Частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны.

Обусловлены деформациями сжатия и растяжения
Могут распространяться в твёрдых телах, жидкостях и газах
Пример: звуковые волны в воздухе

Поперечные волны

Частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны.

Обусловлены деформациями сдвига
Могут распространяться только в твёрдых телах
Пример: волны на струне

Волновой фронт

Воображаемая поверхность, до которой дошли колебания в данный момент времени.

Волновая поверхность

Поверхность, все точки которой колеблются в одинаковой фазе.

Основные характеристики волн

Длина волны (λ)

\lambda = \frac{v}{\nu} = vT

Параметры:

v — скорость волны [м/с]
ν — частота [Гц]
T — период [с]

Волновое число (k)

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{v}

Пространственная частота волны. Измеряется в [рад/м].

Разность фаз (Δϕ)

\Delta\phi = k\Delta x = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta x

Разность фаз между двумя точками, находящимися на расстоянии Δx.

Уравнение бегущей волны

\xi(x,t) = A\cos(\omega t \mp kx + \phi_0)

\xi(x,t) = A\cos(\omega t \mp kx + \phi_0)

Параметры:

ξ(x,t) — смещение частиц среды [м]
A — амплитуда волны [м]
ω — циклическая частота [рад/с]
k — волновое число [рад/м]
ϕ₀ — начальная фаза [рад]

Знак в уравнении:

"-" — волна распространяется в положительном направлении оси X
"+" — волна распространяется в отрицательном направлении оси X

Звуковые волны

Диапазоны звуковых волн

Инфразвук

Частота ниже 16 Гц

Слышимый звук

Частота от 16 Гц до 20 кГц

Ультразвук

Частота выше 20 кГц

Характеристики звука

Громкость

Определяется амплитудой колебаний. Измеряется в децибелах [дБ]

Высота тона

Определяется частотой звука. Чем выше частота, тем выше тон

Тембр

Определяется набором обертонов и позволяет различать звуки одинаковой высоты и громкости

Уровень интенсивности звука

L = 10 \lg\left(\frac{I}{I_0}\right)

Параметры:

L — уровень громкости [дБ]
I — интенсивность звука [Вт/м²]
I₀ = 10⁻¹² Вт/м² — порог слышимости

Примеры уровней громкости:

Шепот: 20-30 дБ
Обычный разговор: 50-60 дБ
Уличный шум: 70-80 дБ
Концерт: 100-120 дБ
Болевой порог: 130-140 дБ

Скорость звука

Скорость звука зависит от упругих свойств среды и её температуры. В более упругих средах и при более высоких температурах скорость звука выше.

Среда	Скорость звука (м/с)	Температура (°C)
Воздух	331	0
Воздух	343	20
Вода	1480	20
Сталь	5000-6000	20
Стекло	4500-5500	20

Примечание: При переходе звуковой волны из одной среды в другую частота сохраняется, а изменяются длина волны и скорость.

Практическое применение

Ультразвук

Медицинская диагностика (УЗИ)
Дефектоскопия материалов
Эхолокация и сонарные системы
Ультразвуковая очистка

Инфразвук

Прогнозирование землетрясений и цунами
Изучение атмосферных явлений
Исследование вулканической активности
Изучение поведения животных

Интересный факт

Скорость звука в воздухе увеличивается примерно на 0,6 м/с при повышении температуры на 1°C. Это объясняется тем, что при повышении температуры увеличивается скорость движения молекул воздуха, что способствует более быстрой передаче колебаний.

Формула для расчета скорости звука в воздухе: $v = 331 + 0.6t$ , где t — температура в °C.

Графическое представление длины волны, амплитуды и других характеристик волны — Рис.6. Длина волны

Анимация распространения механических волн — Рис.7. Механические волны