Магнитное поле

Магнитное поле

Основы магнитного поля

Магнитное поле — это особая форма материи, которая существует вокруг движущихся электрических зарядов и постоянных магнитов. Оно играет фундаментальную роль в электромагнетизме и является неотъемлемой частью многих физических явлений и технологических применений.

Интересный факт: Магнитное поле Земли защищает нас от вредного солнечного излучения и является причиной такого красивого явления, как полярное сияние.

Магнитная индукция (B)

Магнитная индукция — основная силовая характеристика магнитного поля, определяющая, насколько сильно поле действует на движущиеся заряды.

Определение

Векторная величина, характеризующая силу воздействия магнитного поля на движущиеся заряженные частицы.

Направление

За положительное направление принимается направление от южного полюса к северному полюсу свободно вращающейся магнитной стрелки.

B

Вектор магнитной индукции

[Тл]

Единица измерения — Тесла

1 Тл

Очень сильное магнитное поле

Сравнение: Магнитное поле Земли составляет около 25-65 мкТл, в то время как магнитное поле МРТ-сканера может достигать 1,5-3 Тл.

Линии магнитного поля

Линии магнитного поля (силовые линии) — это воображаемые линии, которые помогают визуализировать структуру и свойства магнитного поля.

Свойства линий

  • Касательная к линии показывает направление вектора B
  • Линии замкнуты (не имеют начала и конца)
  • Густота линий пропорциональна величине индукции B
  • Линии никогда не пересекаются

Направление линий

Линии выходят из северного полюса магнита и входят в южный полюс, замыкаясь внутри магнита.

Визуализация: Для визуализации магнитных линий можно использовать железные опилки, которые выстраиваются вдоль силовых линий.

Однородное магнитное поле

Однородное магнитное поле — это поле, в котором вектор магнитной индукции постоянен по величине и направлению во всех точках.

Характеристики

  • B = const (по величине и направлению)
  • Силовые линии параллельны и равноотстоящи
  • На заряды действует сила Лоренца

Примеры

  • Поле внутри длинного соленоида
  • Поле между полюсами постоянного магнита
  • Поле в зазоре электромагнита

Применение: Однородные магнитные поля используются в масс-спектрометрах, ускорителях частиц и многих других научных и технических устройствах.

Правило буравчика (правого винта)

Правило буравчика — это мнемоническое правило для определения направления магнитного поля вокруг проводника с током.

Формулировка правила:

Если направление поступательного движения буравчика (винта) совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения рукоятки буравчика указывает направление линий магнитного поля тока.

Для прямого проводника

Магнитные линии представляют собой концентрические окружности вокруг проводника.

Для соленоида (катушки)

Правило буравчика определяет направление магнитного поля внутри катушки и положение её полюсов.

Альтернатива: Также можно использовать правило правой руки: если обхватить проводник правой рукой так, чтобы большой палец указывал направление тока, то остальные пальцы покажут направление магнитных линий.

Другие важные правила

Правило правой руки для соленоида

Если обхватить соленоид правой рукой так, чтобы четыре пальца указывали направление тока в витках, то отставленный большой палец покажет направление магнитного поля внутри соленоида (на северный полюс).

Правило левой руки

Если расположить левую руку так, чтобы линии магнитного поля входили в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление тока, то отставленный большой палец покажет направление силы, действующей на проводник.

Практическое применение

В технике

  • Электродвигатели и генераторы
  • Трансформаторы
  • Магнитные замки и подшипники
  • Компасы и навигационные системы
  • Магнитно-резонансная томография (МРТ)

В повседневной жизни

  • Кредитные карты и магнитные полосы
  • Динамики и микрофоны
  • Электромагниты в домофонах и звонках
  • Магнитные крепления и держатели
  • Индукционные плиты для приготовления пищи

Источники магнитного поля

Постоянные магниты

  • Природные магниты (магнетит)
  • Искусственные магниты (ферриты, неодимовые)
  • Магнитные свойства сохраняются длительное время
  • Имеют два полюса — северный и южный

Электромагниты

  • Проводник с электрическим током
  • Катушки (соленоиды) с током
  • Магнитное поле появляется только при наличии тока
  • Силу поля можно регулировать изменением тока
  • Полюса можно менять местами изменением направления тока
Магнитное поле около плоского и U-образного магнитов
Рис.1. Магнитное поле около плоского и U-образного магнитов
Магнитное поле около соленоида и Земли
Рис.2. Магнитное поле около соленоида и Земли

Сила Ампера

Сила Ампера

Сила Ампера — это сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током. Это фундаментальное явление лежит в основе работы электродвигателей, громкоговорителей и многих других электротехнических устройств.

Историческая справка: Сила названа в честь французского физика Андре-Мари Ампера, который впервые исследовал взаимодействие электрических токов и магнитных полей в 1820 году.

Формула силы Ампера

Модуль силы Ампера рассчитывается по формуле, которая учитывает силу тока, магнитную индукцию, длину проводника и угол между направлением тока и магнитным полем.

FA=I⋅B⋅l⋅sin⁡α F_A = I \cdot B \cdot l \cdot \sin\alpha
FA

Сила Ампера [Н]

I

Сила тока [А]

B

Магнитная индукция [Тл]

l

Длина проводника [м]

α

Угол между I и B [град]

Особые случаи: Максимальная сила достигается при α = 90° (sinα = 1), когда проводник перпендикулярен магнитному полю. При α = 0° (sinα = 0) сила равна нулю — ток параллелен полю.

Правило левой руки

Правило левой руки позволяет определить направление силы Ампера, действующей на проводник с током в магнитном поле.

Алгоритм применения:

  1. Расположите левую руку так, чтобы четыре вытянутых пальца указывали направление тока (от "+" к "-")
  2. Магнитные линии (вектор B) должны входить в ладонь
  3. Отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы Ампера

Запомните: Ток всегда течёт от положительного полюса к отрицательному, что соответствует направлению движения положительных зарядов.

Магнитное поле проводников

Прямой проводник

B=μ0I2πR B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}

Магнитное поле вокруг прямого проводника с током убывает обратно пропорционально расстоянию от проводника.

Круговой виток

B=μ0I2R B = \frac{\mu_0 I}{2R}

В центре кругового витка магнитное поле прямо пропорционально току и обратно пропорционально радиусу витка.

B

Магнитная индукция [Тл]

I

Сила тока [А]

R

Расстояние/радиус [м]

μ₀

4π×10⁻⁷ Гн/м (магнитная постоянная)

Векторная форма записи

Для полного описания силы Ампера необходимо учитывать её векторную природу. Векторная форма записи позволяет учесть направление силы.

F⃗A=I⋅l⃗×B⃗ \vec{F}_A = I \cdot \vec{l} \times \vec{B}

Векторное произведение: Направление силы Ампера определяется по правилу правой руки для векторного произведения: если направить пальцы по вектору l, и согнуть их к вектору B, то большой палец покажет направление силы.

Практическое применение

Электродвигатели

  • Преобразование электрической энергии в механическую
  • Вращение ротора due to действию силы Ампера
  • Используются в промышленности, транспорте, бытовой технике

Электроизмерительные приборы

  • Магнитоэлектрические системы амперметров и вольтметров
  • Отклонение стрелки пропорционально силе тока
  • Высокая точность измерений

Громкоговорители (динамики)

  • Колебания мембраны due to изменяющейся силе Ампера
  • Преобразование электрических сигналов в звуковые волны
  • Используются в аудиотехнике, системах оповещения

Магнитогидродинамические генераторы

  • Прямое преобразование тепловой энергии в электрическую
  • Используют движение проводящей жидкости в магнитном поле
  • Перспективная технология для энергетики

Закон Ампера

Закон Ампера описывает силу взаимодействия двух параллельных проводников с током, которая является следствием действия магнитных полей этих проводников друг на друга.

F=μ0I1I2l2πd F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2\pi d}
F

Сила взаимодействия [Н]

I₁, I₂

Токи в проводниках [А]

l

Длина проводников [м]

d

Расстояние между проводниками [м]

Определение ампера: Сила тока в 1 ампер — это такой ток, при котором два параллельных проводника длиной 1 метр, расположенные на расстоянии 1 метра друг от друга в вакууме, взаимодействуют с силой 2×10⁻⁷ ньютона.

Магнитное поле около проводника, правило правой руки
Рис.3. Магнитное поле около проводника, правило правой руки
Сила ампера и правило левой руки
Рис.4. Сила ампера и правило левой руки

Сила Лоренца

Сила Лоренца

Сила Лоренца — это сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле. Это фундаментальное понятие в электромагнетизме, объясняющее поведение заряженных частиц в магнитных полях и лежащее в основе многих физических явлений и технологических применений.

Историческая справка: Сила названа в честь голландского физика Хендрика Лоренца, который получил Нобелевскую премию в 1902 году за объяснение влияния магнитного поля на излучение заряженных частиц.

Формула силы Лоренца

Модуль силы Лоренца рассчитывается по формуле, которая учитывает заряд частицы, её скорость, магнитную индукцию и угол между направлением движения и магнитным полем.

FЛ=∣q∣⋅v⋅B⋅sin⁡α F_Л = |q| \cdot v \cdot B \cdot \sin\alpha
FЛ

Сила Лоренца [Н]

|q|

Модуль заряда [Кл]

v

Скорость частицы [м/с]

B

Магнитная индукция [Тл]

α

Угол между v и B [град]

Особые случаи: Максимальная сила достигается при α = 90° (sinα = 1), когда частица движется перпендикулярно магнитному полю. При α = 0° (sinα = 0) сила равна нулю — частица движется параллельно полю.

Векторная форма записи

Для полного описания силы Лоренца необходимо учитывать её векторную природу. Векторная форма записи позволяет учесть направление силы и знак заряда.

F⃗Л=q⋅v⃗×B⃗ \vec{F}_Л = q \cdot \vec{v} \times \vec{B}

Векторное произведение: Направление силы Лоренца определяется по правилу правой руки для векторного произведения с учётом знака заряда. Для положительных зарядов направление совпадает с результатом векторного произведения, для отрицательных — противоположно.

Правило левой руки для силы Лоренца

Правило левой руки позволяет определить направление силы Лоренца, действующей на положительно заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле.

Алгоритм применения:

  1. Расположите левую руку так, чтобы четыре вытянутых пальца указывали направление скорости положительно заряженной частицы
  2. Магнитные линии (вектор B) должны входить в ладонь
  3. Отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы Лоренца

Важно! Для отрицательно заряженных частиц (электронов) направление силы будет противоположным тому, что показывает большой палец.

Особенности для разных зарядов

Положительные заряды

  • Протоны, позитроны, α-частицы
  • Направление силы совпадает с правилом левой руки
  • Движение по окружности в одном направлении

Отрицательные заряды

  • Электроны, отрицательные ионы
  • Направление силы противоположно правилу левой руки
  • Движение по окружности в противоположном направлении

Движение частиц в магнитном поле

Движение по окружности

Когда частица движется перпендикулярно магнитному полю, сила Лоренца играет роль центростремительной силы, заставляя частицу двигаться по окружности.

R=mv∣q∣B R = \frac{m v}{|q| B}

где R — радиус окружности, m — масса частицы

Движение по спирали

Если скорость частицы имеет компоненту вдоль магнитного поля, траектория представляет собой спираль вокруг силовых линий.

h=2πmv∥∣q∣B h = \frac{2\pi m v_{\parallel}}{|q| B}

где h — шаг спирали, v∥ — компонента скорости вдоль поля

Практическое применение

Масс-спектрометры

  • Разделение ионов по массе и заряду
  • Определение химического состава веществ
  • Использование в химии, биологии, медицине

Ускорители частиц

  • Удержание и фокусировка пучков заряженных частиц
  • Использование в физике высоких энергий
  • Медицинская терапия (протонная терапия)

Магнитные ловушки

  • Удержание плазмы в термоядерных реакторах
  • Исследование поведения высокотемпературной плазмы
  • Перспектива создания термоядерных электростанций

Космические явления

  • Формирование радиационных поясов Земли
  • Движение космических лучей в галактике
  • Образование полярных сияний

Эффект Холла

Эффект Холла — это явление возникновения поперечной разности потенциалов в проводнике с током, помещённом в магнитное поле. Это прямое следствие действия силы Лоренца на носители заряда.

UХ=IBned U_Х = \frac{I B}{n e d}
UХ

Холловская разность потенциалов [В]

I

Сила тока [А]

B

Магнитная индукция [Тл]

n

Концентрация носителей заряда [м⁻³]

d

Толщина образца [м]

Применение: Датчики Холла используются для измерения магнитных полей, определения концентрации носителей заряда в полупроводниках, создания бесконтактных выключателей и позиционных датчиков.

Сила Лоренца, движение по окружности
Рис.5. Сила Лоренца, движение по окружности

Поток магнитного поля. ЭДС индукции

Магнитный поток и электромагнитная индукция

Явление электромагнитной индукции, открытое Майклом Фарадеем в 1831 году, лежит в основе работы генераторов электрического тока, трансформаторов и многих других электротехнических устройств. Это фундаментальное явление демонстрирует глубокую взаимосвязь между электрическими и магнитными полями.

Историческая справка: Майкл Фарадей открыл явление электромагнитной индукции 29 августа 1831 года. Его опыты показали, что изменяющееся магнитное поле создает электрический ток в замкнутом контуре, даже если контур и источник磁场 не перемещаются относительно друг друга.

Магнитный поток

Магнитный поток (Φ) — скалярная физическая величина, равная произведению модуля вектора магнитной индукции B на площадь поверхности S и косинус угла α между вектором магнитной индукции и нормалью к поверхности.

Φ=B⋅S⋅cos⁡α \Phi = B \cdot S \cdot \cos\alpha
Φ

Магнитный поток [Вб]

B

Магнитная индукция [Тл]

S

Площадь контура [м²]

α

Угол между B и нормалью [град]

Физический смысл: Магнитный поток численно равен количеству линий магнитной индукции, пронизывающих поверхность. Максимальное значение достигается при α = 0° (cosα = 1), когда линии перпендикулярны поверхности.

Закон электромагнитной индукции Фарадея

ЭДС индукции (εi) — электродвижущая сила, возникающая в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром.

Ei=−ΔΦΔt \mathcal{E}_i = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}
εi

ЭДС индукции [В]

ΔΦ/Δt

Скорость изменения магнитного потока [Вб/с]

Дифференциальная форма: Для мгновенного значения ЭДС используется производная:Ei=−dΦdt \mathcal{E}_i = -\frac{d\Phi}{dt}

Правило Ленца

Знак минус в формуле закона Фарадея отражает правило Ленца, сформулированное Эмилием Ленцем в 1833 году:

Индукционный ток всегда имеет такое направление, что его собственное магнитное поле противодействует тому изменению магнитного потока, которое вызвало появление этого тока.

Физический смысл: Правило Ленца является следствием закона сохранения энергии. Если бы индукционный ток усиливал изменение магнитного потока, это привело бы к лавинообразному росту энергии системы без внешних источников, что невозможно.

Определение направления индукционного тока

Алгоритм определения направления:

  1. Определить направление внешнего магнитного поля (B) и характер его изменения (увеличивается или уменьшается)
  2. Определить направление магнитного поля индукционного тока (Bi), которое должно противодействовать изменению внешнего поля
  3. По направлению поля Bi определить направление индукционного тока с помощью правила буравчика (правой руки) для соленоида

Если магнитный поток УВЕЛИЧИВАЕТСЯ:

Индукционный ток создает магнитное поле, направленное ПРОТИВ внешнего поля

Если магнитный поток УМЕНЬШАЕТСЯ:

Индукционный ток создает магнитное поле, направленное ВДОЛЬ внешнего поля

Практическое применение

Генераторы электрического тока

  • Преобразование механической энергии в электрическую
  • Использование вращающегося магнитного поля
  • Основной источник электроэнергии в мире

Трансформаторы

  • Изменение величины переменного напряжения
  • Передача электроэнергии на большие расстояния
  • Использование в блоках питания электронных устройств

Индукционные печи

  • Бесконтактный нагрев проводящих материалов
  • Плавление металлов в металлургии
  • Использование в бытовых индукционных плитах

Тормозные системы

  • Магнитные тормоза в поездах и аттракционах
  • Электродинамическое торможение в транспорте
  • Индукционные системы замедления

Явление самоиндукции

При изменении тока в проводящем контуре возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая изменению тока. Это частный случай электромагнитной индукции.

Esi=−LΔIΔt \mathcal{E}_{si} = -L \frac{\Delta I}{\Delta t}
εsi

ЭДС самоиндукции [В]

L

Индуктивность [Гн]

ΔI/Δt

Скорость изменения тока [А/с]

Индуктивность (L) — коэффициент пропорциональности между электрическим током в контуре и магнитным потоком, создаваемым этим током. Зависит от формы и размеров контура, а также от магнитных свойств окружающей среды.

Поток магнитного поля
Рис.6. Поток магнитного поля
Электромагнитная индукция
Рис.7. Возникновение индукционного тока при движении магнита

ЭДС самоиндукции. Индуктивность. Энергия катушки

Явление самоиндукции

Самоиндукция — это частный случай электромагнитной индукции, при котором изменение тока в проводящем контуре вызывает возникновение ЭДС индукции в этом же контуре. Это явление демонстрирует инерционность магнитного поля и его способность запасать энергию.

Физическая сущность: При изменении тока в контуре изменяется создаваемое им магнитное поле, что приводит к изменению магнитного потока через контур и возникновению ЭДС, противодействующей изменению тока.

ЭДС самоиндукции

ЭДС самоиндукции (εsi) — электродвижущая сила, возникающая в проводящем контуре при изменении силы тока в этом же контуре. Она всегда направлена так, чтобы противодействовать изменению тока.

Esi=−L⋅ΔIΔt \mathcal{E}_{si} = -L \cdot \frac{\Delta I}{\Delta t}
εsi

ЭДС самоиндукции [В]

L

Индуктивность [Гн]

ΔI/Δt

Скорость изменения тока [А/с]

Знак минус: Отражает правило Ленца применительно к самоиндукции — ЭДС самоиндукции всегда противодействует изменению тока в цепи. При увеличении тока ЭДС самоиндукции отрицательна (препятствует росту), при уменьшении — положительна (поддерживает ток).

Индуктивность

Индуктивность (L) — коэффициент пропорциональности между электрическим током в контуре и создаваемым им магнитным потоком. Характеризует способность проводника накапливать энергию в магнитном поле при протекании тока.

L=ΦI L = \frac{\Phi}{I}
L

Индуктивность [Гн]

Φ

Магнитный поток [Вб]

I

Сила тока [А]

Факторы влияния: Индуктивность зависит от формы и размеров проводника, числа витков в катушке, наличия магнитного материала (сердечника). Единица измерения — Генри (Гн): 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В·с/А.

Собственный магнитный поток

Собственный магнитный поток (ΦL) — магнитный поток, пронизывающий контур, создаваемый током, текущим в этом же контуре. Пропорционален силе тока и индуктивности контура.

Φ=L⋅I \Phi = L \cdot I

Особенности: Собственный магнитный поток является мерой "магнитной инерции" контура. Чем больше индуктивность, тем больше магнитный поток создается при том же токе и тем сильнее выражены явления самоиндукции.

Энергия магнитного поля

Энергия магнитного поля катушки (WL) — энергия, запасённая в магнитном поле катушки при протекании тока. Эта энергия выделяется при прекращении тока и может создавать искру или дугу.

W=L⋅I22 W = \frac{L \cdot I^2}{2}
W

Энергия поля [Дж]

L

Индуктивность [Гн]

I

Сила тока [А]

Физический смысл: Энергия магнитного поля аналогична кинетической энергии в механике — обе характеризуют инерционные свойства системы. При размыкании цепи эта энергия может преобразовываться в другие формы, например, в тепловую или световую.

Практическое применение

Искровое зажигание

  • Системы зажигания в двигателях внутреннего сгорания
  • Искровые разрядники в электрооборудовании
  • Генераторы импульсных сигналов

Фильтры и колебательные контуры

  • LC-фильтры в радиотехнике
  • Колебательные контуры в генераторах
  • Резонансные системы

Защита цепей

  • Подавление помех в электронных схемах
  • Ограничение токов короткого замыкания
  • Дроссели для сглаживания пульсаций

Накопители энергии

  • Импульсные источники питания
  • Системы магнитного накопления энергии
  • Индукционные нагреватели

Переходные процессы в цепях с индуктивностью

Наличие индуктивности в цепи приводит к тому, что ток не может изменяться мгновенно — возникают переходные процессы, характер которых зависит от параметров цепи.

Включение цепи

При замыкании цепи ток нарастает постепенно по экспоненциальному закону:

I(t)=UR(1−e−t/τ) I(t) = \frac{U}{R}(1 - e^{-t/\tau})

где τ = L/R — постоянная времени цепи

Разключение цепи

При размыкании цепи ток убывает постепенно по экспоненциальному закону:

I(t)=I0e−t/τ I(t) = I_0 e^{-t/\tau}

ЭДС самоиндукции может значительно превышать ЭДС источника

Важно! При резком размыкании цепей с большой индуктивностью возникающие ЭДС самоиндукции могут достигать тысяч вольт, что представляет опасность для оборудования и персонала.

Идеальный электромагнитный колебательный контур

Колебательный контур

Идеальный колебательный контур — замкнутая электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивности и конденсатора, в которой могут возникать свободные незатухающие электромагнитные колебания. В таком контуре происходит периодический обмен энергией между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки индуктивности.

Историческая справка: Теоретическое описание колебательного контура было разработано в середине XIX века. Формула для периода колебаний названа в честь английского физика Уильяма Томсона (лорда Кельвина), который вывел её в 1853 году.

Основные элементы контура

Конденсатор

  • Накопитель электрической энергии
  • Создает электрическое поле
  • Ёмкость C [Ф] — способность накапливать заряд

Катушка индуктивности

  • Накопитель магнитной энергии
  • Создает магнитное поле
  • Индуктивность L [Гн] — мера инерционности

Идеальный контур: В идеальном контуре отсутствуют активные сопротивления и потери энергии. На практике такой контур невозможен, но является полезной моделью для теоретического анализа.

Дифференциальное уравнение колебаний

Поведение идеального колебательного контура описывается дифференциальным уравнением гармонического осциллятора, которое выводится из законов Кирхгофа и свойств элементов контура.

d2qdt2+1LCq=0 \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC}q = 0
q

Заряд конденсатора [Кл]

L

Индуктивность [Гн]

C

Ёмкость [Ф]

Физический смысл: Уравнение описывает гармонические колебания заряда с частотой, определяемой параметрами L и C. Решение этого уравнения — гармоническая функция (синус или косинус).

Частота и период колебаний

Собственная частота колебаний контура определяется только его параметрами — индуктивностью и ёмкостью. Это фундаментальное свойство колебательного контура.

ω=1LC \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Циклическая частота [рад/с]

T=2πLC T = 2\pi\sqrt{LC}

Период колебаний [с] (формула Томсона)

ω

Циклическая частота [рад/с]

T

Период колебаний [с]

L

Индуктивность [Гн]

C

Ёмкость [Ф]

Зависимость: Частота увеличивается с уменьшением как индуктивности, так и ёмкости. Для увеличения частоты колебаний нужно уменьшать L или C, и наоборот.

Закон сохранения энергии

В идеальном колебательном контуре выполняется закон сохранения энергии — полная энергия остается постоянной, происходит лишь преобразование энергии из электрической формы в магнитную и обратно.

q22C+LI22=const \frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2} = \text{const}

Энергия конденсатора

Wэ=q22C=CU22 W_э = \frac{q^2}{2C} = \frac{CU^2}{2}

Максимальна при максимальном заряде

Энергия катушки

Wм=LI22 W_м = \frac{LI^2}{2}

Максимальна при максимальном токе

Энергетические превращения: В моменты, когда конденсатор полностью заряжен, вся энергия сосредоточена в его электрическом поле. Когда конденсатор разряжен, вся энергия находится в магнитном поле катушки. В промежуточные моменты энергия распределена между обоими полями.

Уравнения колебаний

Решение дифференциального уравнения колебательного контура дает гармонические функции, описывающие изменение заряда, тока и напряжения со временем.

q(t)=qmcos⁡(ωt+ϕ0) q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)

Заряд конденсатора

I(t)=−qmωsin⁡(ωt+ϕ0) I(t) = -q_m \omega \sin(\omega t + \phi_0)

Сила тока в контуре

qm

Амплитуда заряда [Кл]

ω

Циклическая частота [рад/с]

φ0

Начальная фаза [рад]

Фазовый сдвиг: Ток опережает напряжение по фазе на π/2 (90°). Когда заряд на конденсаторе максимален, ток равен нулю, и наоборот.

Амплитудные соотношения

Амплитуды тока и напряжения связаны с амплитудой заряда и параметрами контура.

Im=qmω=qmLC I_m = q_m \omega = \frac{q_m}{\sqrt{LC}}

Амплитуда силы тока [А]

Um=qmC U_m = \frac{q_m}{C}

Амплитуда напряжения [В]

Связь амплитуд: Амплитуда тока и напряжения связаны соотношением, аналогичным закону Ома:Im=UmL/C I_m = \frac{U_m}{\sqrt{L/C}} , гдеL/C \sqrt{L/C} — волновое сопротивление контура.

Практическое применение

Радиотехника

  • Избирательные цепи (настройка на частоту)
  • Фильтры частот
  • Генераторы гармонических колебаний

Связь и телевидение

  • Настройка на радиостанции
  • Селекция телевизионных каналов
  • Частотная модуляция

Медицина

  • Магнитно-резонансная томография
  • Высокочастотные генераторы
  • Физиотерапевтические аппараты

Измерительная техника

  • Измерение индуктивности и ёмкости
  • Частотомеры
  • Резонансные методы измерений

Реальный колебательный контур

В реальных условиях в контуре всегда присутствуют потери энергии, связанные с активным сопротивлением проводов, излучением электромагнитных волн и другими факторами.

d2qdt2+2βdqdt+ω02q=0 \frac{d^2q}{dt^2} + 2\beta\frac{dq}{dt} + \omega_0^2q = 0
β

Коэффициент затухания

ω0

Собственная частота [рад/с]

Затухающие колебания: В реальном контуре амплитуда колебаний постепенно уменьшается со временем. Для поддержания незатухающих колебаний необходимо компенсировать потери энергии с помощью внешнего источника.

Колебательный контур
Рис.8. Схема идеального колебательного контура