Основные определения кинематики

Основные понятия механики

Механика — раздел физики, изучающий движение материальных тел и взаимодействие между ними. Кинематика является частью механики и описывает движение тел без рассмотрения причин этого движения.

Механическое движение

Механическое движение — изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Основная задача механики — определение положения движущегося тела в любой момент времени.

Относительность движения

Механическое движение является относительным — для описания движения необходимо указать, относительно какого тела оно рассматривается.

Тело отсчёта — тело, относительно которого рассматривается движение.

Система отсчёта

Система отсчёта состоит из:

Тела отсчёта
Связанной с ним системы координат
Прибора для измерения времени

Одномерная

Линия (ось X)

Двумерная

Плоскость (оси X, Y)

Трёхмерная

Пространство (оси X, Y, Z)

Материальная точка

Материальная точка — тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

Примеры:

Материальная точка:

Муха в комнате

Планета при изучении орбиты

Не материальная точка:

Слон в комнате

Планета при изучении вращения

Твёрдое тело

Твёрдое тело — система материальных точек, расстояния между которыми не меняются со временем.

Модель применяется, когда нельзя пренебречь размерами тела, но можно не учитывать изменение его размеров и формы.

Виды механического движения

Любое движение тела можно разложить на поступательное и вращательное.

Поступательное движение

Движение тела, при котором все его точки движутся одинаково.

Любая прямая, соединяющая две произвольные точки тела, перемещается параллельно своему первоначальному направлению.

Примеры:

Движение лифта
Движение поршня в двигателе
Движение саней с горки

Вращательное движение

Движение тела, при котором все его точки движутся по окружностям.

Центры окружностей лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Примеры:

Вращение Земли вокруг оси
Вращение колеса автомобиля
Вращение лопастей вентилятора

Радиус-вектор

Радиус-вектор r — вектор, задающий положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки (начала координат).

\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}

где $x, y, z$ — координаты точки в выбранной системе координат

Радиус-вектор позволяет однозначно определить положение точки в пространстве и является основным инструментом для математического описания движения.

Различные системы отсчета: демонстрация относительности движения в разных системах координат — Рис. 1. Системы отсчета

Визуализация поступательного и вращательного движения твердого тела — Рис. 2. Поступательное и вращательное движение

Траектория, путь и перемещение

Основные кинематические понятия

Для описания движения тела в пространстве используются три ключевых понятия: траектория, путь и перемещение. Понимание различий между ними важно для решения задач кинематики.

Траектория

Траектория — линия, вдоль которой движется тело.

Виды траекторий:

Прямолинейная
Криволинейная
Замкнутая

Путь (S)

Путь — расстояние, пройденное точкой вдоль траектории.

Свойства: скалярная величина, всегда положительная, зависит от формы траектории.

Перемещение (Δr)

Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела.

Свойства: векторная величина, не зависит от формы траектории, может быть нулевым при ненулевом пути.

Сравнение пути и перемещения

Характеристика	Путь	Перемещение
Обозначение	S	Δr
Природа величины	Скаляр	Вектор
Зависимость от траектории	Зависит	Не зависит
Возможное значение	Всегда ≥ 0	Может быть любым
Пример	Длина окружности стадиона	Вектор от старта до финиша

Формулы расчета

Двумерная система координат

|\Delta\vec{r}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

где (x₁, y₁) — начальные координаты, (x₂, y₂) — конечные координаты

Трехмерная система координат

|\Delta\vec{r}| = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}

где Δx = x₂ - x₁, Δy = y₂ - y₁, Δz = z₂ - z₁

Связь между путём и перемещением

Прямолинейное движение

При прямолинейном движении в одном направлении модуль перемещения равен пути:

|\Delta\vec{r}| = S

Криволинейное движение

При криволинейном движении или движении с изменением направления путь всегда больше модуля перемещения:

S \geq |\Delta\vec{r}|

Нахождение пути через площадь под графиком

При неравномерном движении путь можно найти как площадь под графиком зависимости скорости от времени:

S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt

Для равномерного движения путь вычисляется как площадь прямоугольника: S = v·t

Практические примеры

Пример 1: Бег по кругу

Спортсмен пробежал круг на стадионе длиной 400 м и вернулся в точку старта.

Путь: S = 400 м
Перемещение: Δr = 0

Пример 2: Движение по прямой

Автомобиль проехал 10 км на север, затем развернулся и проехал 4 км на юг.

Путь: S = 14 км
Перемещение: |Δr| = 6 км (на север)

Визуализация траектории, пути и перемещения: анимация показывающая разницу между этими понятиями — Рис. 3. Траектория, путь и перемещение

Демонстрация нахождения пути как площади под графиком скорости от времени — Рис. 4. Нахождение пути через площадь под графиком v(t)

Скорость и ускорение

Основные кинематические величины

Скорость и ускорение — фундаментальные понятия кинематики, описывающие изменение положения тела с течением времени и характер этого изменения.

Скорость

Скорость — векторная величина, характеризующая быстроту изменения положения тела. Показывает, какое расстояние проходит тело за единицу времени и в каком направлении.

Единицы измерения:

СИ: метр в секунду (м/с)

Направление: Скорость всегда направлена по касательной к траектории движения.

Ускорение

Ускорение — векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Показывает, насколько изменяется скорость тела за единицу времени.

Единицы измерения:

СИ: метр в секунду в квадрате (м/с²)

Физический смысл: Ускорение показывает, насколько изменяются модуль скорости и её направление.

Виды скорости

Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.

\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}

где Δr — перемещение за бесконечно малый промежуток времени Δt

Средняя путевая скорость — отношение всего пройденного пути ко всему времени движения.

v_\text{ср.путь} = \frac{S_1 + S_2 + \dots + S_n}{t_1 + t_2 + \dots + t_n}

Скалярная величина, всегда положительная

Средняя скорость перемещения — отношение перемещения тела ко времени, за которое это перемещение произошло.

\vec{v}_\text{ср} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}

Векторная величина, может быть отрицательной

Ускорение

Определение ускорения

\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt}

Ускорение равно первой производной от скорости по времени или второй производной от радиус-вектора по времени.

Влияние угла между векторами скоростью и ускорением

α < 90°: тело ускоряется

α = 90°: меняется только направление скорости

α > 90°: тело замедляется

Проекции скорости и ускорения

Проекции скорости

v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t}

v_y = \frac{\Delta y}{\Delta t}

v_z = \frac{\Delta z}{\Delta t}

Проекции ускорения

a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}

a_y = \frac{\Delta v_y}{\Delta t}

a_z = \frac{\Delta v_z}{\Delta t}

Интерпретация знаков проекций:
• Положительная проекция скорости: движение в положительном направлении оси
• Отрицательная проекция скорости: движение в отрицательном направлении оси
• Положительная проекция ускорения: увеличение скорости в положительном направлении
• Отрицательная проекция ускорения: увеличение скорости в отрицательном направлении

Модули векторов скорости и ускорения

Модуль скорости

Двумерная система координат:

|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

Трёхмерная система координат:

|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}

Модуль ускорения

Двумерная система координат:

|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}

Трёхмерная система координат:

|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}

Практическое применение

Пример: Движение автомобиля

Автомобиль движется по прямой дороге. Его скорость изменяется согласно уравнению:

v(t) = 10 + 2t

Начальная скорость: 10 м/с
Ускорение: 2 м/с²
Через 5 секунд скорость будет: 20 м/с

Пример: Движение под углом

Тело движется в плоскости XY с проекциями скорости:

v_x = 3\ м/с, \quad v_y = 4\ м/с

Модуль скорости: 5 м/с
Направление: под углом 53° к оси X

Проекции скорости: графическое представление разложения вектора скорости на составляющие — Рис. 5. Проекции скорости

Влияние ускорения на скорость: визуализация изменения скорости под действием ускорения — Рис. 6. Влияние ускорения на скорость

Относительность движения

Принцип относительности движения

Движение тела всегда относительно — его характеристики зависят от выбора системы отсчета. Одно и то же движение может выглядеть по-разному в разных системах отсчета.

Основной принцип

Перемещение и скорость тела зависят не только от того, как движется само тело, но и от того, в какой системе отсчета мы его рассматриваем.

Ключевая идея: Не существует абсолютного движения — все движения относительны и зависят от выбора системы отсчета.

Системы отсчета

НП — неподвижная система отсчета

П — подвижная система отсчета

Т — тело, движение которого изучается

Формулы относительности

Относительное перемещение

\Delta\vec{r}_\text{Т/НП} = \Delta\vec{r}_\text{Т/П} + \Delta\vec{r}_\text{П/НП}

Перемещение тела относительно неподвижной системы равно сумме перемещения тела относительно подвижной системы и перемещения подвижной системы относительно неподвижной.

Относительная скорость

\vec{v}_\text{Т/НП} = \vec{v}_\text{Т/П} + \vec{v}_\text{П/НП}

Скорость тела относительно неподвижной системы равна сумме скорости тела относительно подвижной системы и скорости подвижной системы относительно неподвижной.

Относительная скорость двух тел

\vec{v}_{12} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2

Скорость первого тела относительно второго равна разности их скоростей относительно неподвижной системы отсчета.

Скорость сближения

Когда тела движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

Скорость удаления

Когда тела движутся в одном направлении, их скорости вычитаются.

Практические примеры

Движение по реке

Лодка плывет по реке со скоростью 5 м/с относительно воды. Скорость течения реки 2 м/с.

По течению: 5 + 2 = 7 м/с
Против течения: 5 - 2 = 3 м/с
Перпендикулярно течению: √(5² + 2²) ≈ 5,39 м/с

Движение автомобилей

Два автомобиля движутся по прямому шоссе. Первый со скоростью 80 км/ч, второй — 100 км/ч.

При движении в одном направлении:
100 - 80 = 20 км/ч
При движении навстречу:
100 + 80 = 180 км/ч

Классический закон сложения скоростей

\vec{v}_{abs} = \vec{v}_{rel} + \vec{v}_{trans}

v_abs — абсолютная скорость (относительно неподвижной системы)
v_rel — относительная скорость (относительно подвижной системы)
v_trans — переносная скорость (скорость подвижной системы)

Примечание: Классический закон сложения скоростей справедлив только для скоростей, значительно меньших скорости света. Для больших скоростей необходимо использовать релятивистскую формулу.

Особые случаи и ограничения

Инерциальные системы отсчета

Все приведенные формулы справедливы только для инерциальных систем отсчета, которые движутся равномерно и прямолинейно относительно друг друга.

Неинерциальные системы

В неинерциальных системах отсчета (движущихся с ускорением) появляются дополнительные силы инерции, и формулы усложняются.

Скорость сближения и обгона: визуализация относительного движения двух тел — Рис. 7. Скорость одного тела относительно другого

Пример с течением реки: движение лодки относительно воды и берега — Рис. 8. Скорость относительно земли и плота

Закон движения (уравнения движения)

Уравнения движения

Уравнения движения позволяют определить положение тела и его скорость в любой момент времени. Эти формулы справедливы для случая, когда ускорение тела является постоянной величиной.

Векторная форма уравнений

Закон движения:

\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{\vec{a} t^2}{2}

Скорость:

\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a} t

Перемещение:

\Delta\vec{r} = \vec{v}_0 t + \frac{\vec{a} t^2}{2}

Обозначения величин

\vec{r}_0

— начальный радиус-вектор (зависит от выбора системы отсчёта)

\vec{v}_0

— начальная скорость тела

\vec{a}

— ускорение тела (постоянное)

\Delta\vec{r}

— перемещение тела за время t

t

— время движения

Уравнения в проекциях на координатные оси

Ось X

x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}

v_x(t) = v_{0x} + a_x t

S_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}

Ось Y

y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}

v_y(t) = v_{0y} + a_y t

S_y = v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}

Ось Z

z(t) = z_0 + v_{0z}t + \frac{a_z t^2}{2}

v_z(t) = v_{0z} + a_z t

S_z = v_{0z}t + \frac{a_z t^2}{2}

Формулы, не содержащие время

Эти формулы полезны, когда нужно найти перемещение, не зная времени движения, но зная начальную и конечную скорости.

S_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}

S_y = \frac{v_y^2 - v_{0y}^2}{2a_y}

S_z = \frac{v_z^2 - v_{0z}^2}{2a_z}

Частные случаи движения

Равномерное движение

При равномерном движении ускорение равно нулю (a = 0).

x(t) = x_0 + v_0 t

v(t) = v_0 = const

Тело движется с постоянной скоростью, проходя равные пути за равные промежутки времени.

Равноускоренное движение

При равноускоренном движении ускорение постоянно и не равно нулю (a = const ≠ 0).

x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2}

v(t) = v_0 + a t

Скорость тела изменяется линейно со временем, а путь зависит от времени квадратично.

Практическое применение

Пример 1: Движение по горизонтали

Тело начинает движение из начала координат с начальной скоростью 5 м/с и ускорением 2 м/с² вдоль оси X.

$x(t) = 5t + t^2$
$v(t) = 5 + 2t$
Через 3 секунды: x = 24 м, v = 11 м/с

Пример 2: Свободное падение

Тело падает с высоты 100 м без начальной скорости (g ≈ 10 м/с²).

$y(t) = 100 - 5t^2$
$v(t) = -10t$
Время падения: t = √20 ≈ 4.47 с

Графическое представление движения

График зависимости x(t)

При равноускоренном движении график координаты от времени — парабола.

График зависимости v(t)

При равноускоренном движении график скорости от времени — прямая линия.

График зависимости a(t)

При равноускоренном движении график ускорения от времени — горизонтальная прямая.

Площадь под графиком v(t)

Численно равна перемещению тела за соответствующий промежуток времени.

Визуализация проекций перемещения: анимация показывающая разложение перемещения на составляющие вдоль координатных осей — Рис. 9. Проекции перемещения

Визуализация проекций скорости: анимация показывающая разложение вектора скорости на составляющие вдоль координатных осей — Рис. 10. Проекции скорости

Типы движения в кинематике

Классификация видов движения

В кинематике движение тела классифицируется по характеру изменения скорости и траектории. Основные типы движения — равномерное и равнопеременное, каждый из которых имеет свои особенности.

Равномерное движение

Движение, при котором тело за любые равные промежутки времени проходит одинаковые расстояния.

Условия:

|\vec{v}| = \text{const}

Ключевая характеристика: Скорость постоянна по модулю.

Равномерное прямолинейное движение

Частный случай равномерного движения, когда не меняется не только модуль, но и направление скорости.

Условия:

\vec{v} = \text{const}, \quad \vec{a} = 0

Ключевая характеристика: Скорость постоянна и по модулю, и по направлению.

Равнопеременное движение

Движение, при котором модуль скорости за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину.

Условия:

\vec{a} = \text{const}

Равноускоренное движение

Вектор ускорения сонаправлен с вектором скорости.

Результат: Модуль скорости увеличивается с течением времени.

Примеры:

Свободное падение тела
Разгон автомобиля с постоянным ускорением

Равнозамедленное движение

Вектор ускорения противоположен вектору скорости.

Результат: Модуль скорости уменьшается с течением времени.

Примеры:

Торможение автомобиля
Движение тела, брошенного вертикально вверх

Сравнение типов движения

Тип движения	Скорость	Ускорение	Траектория
Равномерное прямолинейное	Постоянна (вектор)	Нулевое	Прямая линия
Равномерное криволинейное	Постоянна по модулю	Ненулевое (нормальное)	Кривая линия
Равноускоренное	Увеличивается	Постоянно и сонаправлено со скоростью	Любая
Равнозамедленное	Уменьшается	Постоянно и противоположно скорости	Любая

Другие типы движения

Неравномерное движение

Движение, при котором скорость изменяется произвольным образом.

Характеристика: Ускорение непостоянно и может изменяться как по модулю, так и по направлению.

Примеры:

Движение автомобиля в городе
Полет мяча в спортивных играх

Криволинейное движение

Движение, траектория которого представляет собой кривую линию.

Характеристика: Вектор скорости направлен по касательной к траектории.

Примеры:

Движение планет по орбитам
Движение автомобиля на повороте

Практическое применение

Определение типа движения

Для определения типа движения необходимо проанализировать:

Изменение модуля скорости
Изменение направления скорости
Характер ускорения
Форму траектории

Значение в физике

Классификация движения важна для:

Выбора правильных уравнений для решения задач
Понимания физических закономерностей
Прогнозирования поведения тел

Визуализация типов движения

Графики скорости

При равномерном движении график v(t) — горизонтальная прямая.
При равнопеременном движении график v(t) — наклонная прямая.

Графики ускорения

При равномерном движении график a(t) совпадает с осью времени.
При равнопеременном движении график a(t) — горизонтальная прямая.

Горизонтальный бросок

Движение тела, брошенного горизонтально

Горизонтальный бросок — это движение тела, брошенного горизонтально с некоторой начальной скоростью. Это движение можно представить как комбинацию двух независимых движений: равномерного движения по горизонтали и свободного падения по вертикали.

Условия задачи

v_0

— начальная скорость (горизонтальная)

h

— начальная высота

g

— ускорение свободного падения (≈ 9.8 м/с²)

t

— время движения

Особенности движения

По горизонтали: равномерное движение (aₓ = 0)
По вертикали: свободное падение (aᵧ = g)
Начальная вертикальная скорость: vᵧ₀ = 0
Траектория движения — парабола
Движения по осям независимы

Уравнения движения

Горизонтальная ось (OX)

Координата:

x(t) = v_0 \cdot t

Скорость:

v_x(t) = v_0

Ускорение:

a_x(t) = 0

Вертикальная ось (OY)

Координата:

y(t) = h - \frac{g \cdot t^2}{2}

Скорость:

v_y(t) = -g \cdot t

Ускорение:

a_y(t) = -g

Ключевые характеристики движения

Время полета

Время, через которое тело упадет на землю (y = 0).

t_\text{п} = \sqrt{\frac{2h}{g}}

Зависит только от высоты h и ускорения свободного падения g.

Дальность полета

Расстояние, которое тело пролетит по горизонтали за время полета.

L = v_0 \cdot t_\text{п} = v_0 \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}

Зависит от начальной скорости v₀ и высоты h.

Скорость в любой точке траектории

Модуль скорости

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}

Модуль скорости увеличивается со временем из-за действия силы тяжести.

Направление скорости

\tg\alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{gt}{v_0}

Угол α между вектором скорости и горизонталью увеличивается со временем.

Уравнение траектории

Исключив время t из уравнений движения, можно получить уравнение траектории. Для этого нужно выразить время из уравнения движения для координаты x и подставить его в уравнение движения для координаты y. Уравнение траектории:

y = h - \frac{g}{2v_0^2} x^2

Получили уравнение параболы, что подтверждает параболическую форму траектории.

Практические примеры

Пример 1

Тело брошено горизонтально со скоростью 10 м/с с высоты 20 м.

Время полета: t = √(2×20/9.8) ≈ 2.02 с
Дальность полета: L = 10 × 2.02 ≈ 20.2 м
Скорость при падении: v = √(10² + (9.8×2.02)²) ≈ 22.3 м/с

Пример 2

С какой высоты было брошено тело, если оно упало на расстоянии 15 м при начальной скорости 5 м/с?

Из формулы дальности: h = (gL²)/(2v₀²)
Высота: h = (9.8×15²)/(2×5²) = 44.1 м

Применение в реальной жизни

Авиация

Сброс грузов с самолета, движение парашютиста до раскрытия парашюта.

Спорт

Движение шайбы в хоккее, мяча в водном поло, прыжки в длину с разбега.

Военное дело

Баллистика снарядов, сброс бомб с летательных аппаратов.

Природа

Падение камней с обрывов, движение воды в водопадах.

Горизонтальный бросок: траектория движения тела, брошенного горизонтально — Рис. 11. Горизонтальный бросок

Бросок под углом к горизонту

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Бросок под углом к горизонту — это движение тела, брошенного с начальной скоростью под определенным углом к горизонтальной поверхности. Это движение можно представить как комбинацию равномерного движения по горизонтали и равноускоренного движения по вертикали.

Условия задачи

v_0

— начальная скорость тела

\alpha

— угол броска к горизонту

g

— ускорение свободного падения (≈ 9.8 м/с²)

Особенности движения

По горизонтали: равномерное движение (aₓ = 0)
По вертикали: равноускоренное движение (aᵧ = -g)
Траектория движения — парабола
Движения по осям независимы
Начальные скорости: $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$ , $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

Уравнения движения

Горизонтальная ось (OX)

Координата:

x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t

Скорость:

v_x(t) = v_0 \cos\alpha = \text{const}

Ускорение:

a_x(t) = 0

Вертикальная ось (OY)

Координата:

y(t) = v_0 \sin\alpha \cdot t - \frac{g t^2}{2}

Скорость:

v_y(t) = v_0 \sin\alpha - g t

Ускорение:

a_y(t) = -g

Ключевые характеристики движения

Время полета

t_\text{п} = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}

Полное время движения тела от момента броска до падения.

Дальность полета

L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}

Максимальное горизонтальное расстояние, которое пролетает тело.

Максимальная высота

H = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}

Наибольшая высота, которую достигает тело во время полета.

Свойства траектории

Уравнение траектории

Исключив время t из уравнений движения, получим уравнение траектории:

y = x \tg\alpha - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\alpha}

Это уравнение параболы, что подтверждает параболическую форму траектории.

Оптимальный угол

Максимальная дальность полета достигается при:

\alpha = 45^\circ

Для угле 45° синус 2α достигает максимального значения (sin 90° = 1).

Скорость в любой точке траектории

Модуль скорости

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 - 2g y}

Модуль скорости зависит от высоты: чем выше тело, тем меньше его скорость.

Направление скорости

\tg\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{v_0 \sin\alpha - g t}{v_0 \cos\alpha}

Угол θ между вектором скорости и горизонталью (осью ОX) изменяется во время полета.

Практические примеры

Пример 1

Тело брошено под углом 30° к горизонту со скоростью 20 м/с.

Время полета: t = (2×20×sin30°)/9.8 ≈ 2.04 с
Дальность полета: L = (20²×sin60°)/9.8 ≈ 35.3 м
Максимальная высота: H = (20²×sin²30°)/(2×9.8) ≈ 5.1 м

Пример 2

Сравнение бросков под разными углами с одинаковой начальной скоростью 15 м/с.

30°: L ≈ 19.9 м, H ≈ 2.9 м
45°: L ≈ 22.9 м, H ≈ 5.7 м
60°: L ≈ 19.9 м, H ≈ 8.6 м

Применение в реальной жизни

Спорт

Прыжки в длину и высоту, метание копья, толкание ядра, прыжки на лыжах с трамплина.

Военное дело

Баллистика артиллерийских снарядов, траектории пуль, запуск ракет.

Инженерия

Расчет траекторий в системах орошения, проектирование водных горок.

Космонавтика

Расчет траекторий запуска космических аппаратов и баллистических ракет.

Интересные факты

При отсутствии сопротивления воздуха траектория всегда будет параболой
Дальность полета одинакова для углов α и (90°-α) при одинаковой начальной скорости
В реальных условиях сопротивление воздуха значительно влияет на траекторию
Для достижения максимальной высоты нужно бросать тело под углом 90° (вертикально вверх)

Бросок под углом к горизонту: траектория движения тела, брошенного под углом — Рис. 13. Бросок под углом к горизонту

Движение по окружности

Движение по окружности — важный вид криволинейного движения, встречающийся в различных физических явлениях: от вращения планет до движения элементарных частиц.

Равномерное движение по окружности

Движение, при котором тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Центростремительное ускорение:

a_n = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r

Направлено к центру окружности, перпендикулярно вектору скорости.

Основные величины

v

— линейная скорость [м/с]

\omega

— угловая скорость [рад/с]

r

— радиус окружности [м]

a_n

— центростремительное ускорение [м/с²]

Кинематические характеристики

Угловая скорость

\omega = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}

Показывает, какой угол проходит тело за единицу времени.

Период вращения

T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi r}{v}

Время одного полного оборота [с].

Частота вращения

\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}

Количество оборотов в единицу времени [Гц].

Связь линейных и угловых величин

Линейная скорость

v = \omega r

Связь между линейной и угловой скоростью.

Центростремительное ускорение

a_n = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r

Две эквивалентные формы записи центростремительного ускорения.

Равноускоренное движение по окружности

Движение, при котором изменяются как направление, так и модуль скорости тела.

Угловое ускорение

\beta = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}

Показывает, насколько изменяется угловая скорость за единицу времени [рад/с²].

Тангенциальное ускорение

a_{\tau} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \beta r

Ответственно за изменение модуля скорости, направлено по касательной.

Полное ускорение

\vec{a} = \vec{a}_{\tau} + \vec{a}_n

a = \sqrt{a_{\tau}^2 + a_n^2}

a = \sqrt{(\beta r)^2 + (\omega^2 r)^2}

Полное ускорение равно векторной сумме тангенциального и нормального ускорений.

Уравнения равноускоренного движения

Угловая скорость

\omega(t) = \omega_0 + \beta t

Зависимость угловой скорости от времени.

Угол поворота

\phi(t) = \phi_0 + \omega_0 t + \frac{\beta t^2}{2}

Зависимость угла поворота от времени.

Практические примеры

Пример 1: Равномерное движение

Колесо радиусом 0.5 м вращается с частотой 2 об/с.

Угловая скорость: ω = 2πν = 4π ≈ 12.6 рад/с
Линейная скорость: v = ωr = 12.6×0.5 = 6.3 м/с
Центростремительное ускорение: aₙ = ω²r = (12.6)²×0.5 ≈ 79.4 м/с²

Пример 2: Равноускоренное движение

Маховик начинает вращаться с угловым ускорением 2 рад/с² из состояния покоя.

Через 5 секунд:
Угловая скорость: ω = βt = 2×5 = 10 рад/с
Угол поворота: φ = βt²/2 = 2×25/2 = 25 рад ≈ 4 оборота

Применение в реальной жизни

Транспорт

Движение автомобилей на поворотах, вращение колес, движение поездов на виражах.

Астрономия

Движение планет по орбитам, вращение звезд и галактик.

Техника

Работа центрифуг, вращение деталей машин, гироскопы.

Спорт

Вращение фигуристов, движение мяча по кривой траектории, метание молота.

Равномерное движение по окружности: анимация показывающая тело, движущееся по кругу с постоянной скоростью — Рис. 14. Равномерное движение по окружности

Равноускоренное движение по окружности: анимация показывающая тело, движущееся по кругу с изменяющейся скоростью — Рис. 15. Равноускоренное движение по окружности