Геометрическая оптика

Основные определения геометрической оптики

Геометрическая оптика

Геометрическая оптика — раздел оптики, изучающий законы распространения световой энергии в прозрачных средах на основе представления о световом луче. В этом приближении не учитываются волновые свойства света и квантовая природа светового излучения.

Историческая справка: Основы геометрической оптики были заложены еще в древности (Евклид, III век до н.э.), но математически строгое описание законов преломления и отражения было дано значительно позже (Снеллиус, 1621 год; Декарт, 1637 год).

Основные понятия

Световой луч

Линия, перпендикулярная волновому фронту, указывающая направление распространения световой энергии. В однородной среде лучи прямолинейны.

Показатель преломления

Физическая величина, характеризующая оптическую плотность среды и показывающая, во сколько раз скорость света в среде меньше, чем в вакууме.

n=cv n = \frac{c}{v}
c

Скорость света в вакууме [м/с]

v

Скорость света в среде [м/с]

Закон прямолинейного распространения света

В однородной прозрачной среде свет распространяется по прямым линиям. Этот закон объясняет образование теней и полутеней.

Тень

Область пространства, куда не попадает свет от источника из-за наличия непрозрачного препятствия. Образуется при точечных источниках света.

Полутень

Область частичного освещения, образующаяся при наличии протяжённого источника света или нескольких источников, где свет от части источников перекрывается препятствием.

Применение: На законе прямолинейного распространения света основано множество оптических приборов: камеры-обскуры, солнечные часы, астрономические методы измерения.

Закон отражения света

1) Падающий луч, отражённый луч и нормаль

к поверхности лежат в одной плоскости

2) Угол падения равен углу отражения

α=β \alpha = \beta
α

Угол падения [град]

β

Угол отражения [град]

Виды отражения: Различают зеркальное отражение (от гладких поверхностей) и диффузное отражение (от шероховатых поверхностей). Закон отражения выполняется в обоих случаях, но при диффузном отражении неровности поверхности приводят к рассеиванию света в разных направлениях.

Закон преломления света (Закон Снеллиуса)

1) Падающий луч, преломлённый луч и нормаль

к поверхности раздела сред лежат в одной плоскости

2) Отношение синусов углов падения и преломления

постоянно для данных сред

n1sin⁡α=n2sin⁡γ n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\gamma
n1

Показатель преломления первой среды

n2

Показатель преломления второй среды

α

Угол падения [град]

γ

Угол преломления [град]

Направление преломления: Если свет переходит из оптически менее плотной среды в более плотную (n1 < n2), то угол преломления меньше угла падения. При переходе из более плотной среды в менее плотную (n1 > n2) угол преломления больше угла падения.

Полное внутреннее отражение

Явление, при котором свет, падающий на границу раздела двух сред, полностью отражается обратно в первую среду, не проникая во вторую.

sin⁡α0=n2n1 \sin\alpha_0 = \frac{n_2}{n_1}

где α0 — предельный угол полного внутреннего отражения

Условие полного внутреннего отражения: Явление происходит, когда свет переходит из оптически более плотной среды в менее плотную (n1 > n2) и угол падения превышает предельный угол α0.

Практическое применение

Оптические приборы

  • Зеркала (плоские, сферические)
  • Линзы (собирающие, рассеивающие)
  • Призмы и световоды
  • Перископы и телескопы

Волоконная оптика

  • Оптоволоконная связь
  • Эндоскопы и медицинские зонды
  • Осветительные системы
  • Датчики и сенсоры

Фотография и оптоэлектроника

  • Объективы фотоаппаратов
  • Проекционные системы
  • Лазерные технологии
  • Оптические диски и носители

Природные явления

  • Радуга и гало
  • Миражи и фата-моргана
  • Блеск и игра света в драгоценных камнях
  • Отражательная способность воды и льда

Показатели преломления различных сред

СредаПоказатель преломления (n)
Вакуум1,00000
Воздух (при 0°C и 1 атм)1,00029
Вода (20°C)1,333
Обычное стекло1,48-1,61
Органическое стекло (плексиглас)1,49
Кристалл кварца1,54
Алмаз2,42
Точечный источник света
Рис.1. Точечный источник света
Протяженный источник света
Рис.2. Протяженный источник света

Линзы и их характеристики

Оптические линзы

Линзы — прозрачные тела, ограниченные двумя сферическими или одной сферической и одной плоской поверхностями. Они предназначены для преобразования световых пучков и являются основными элементами большинства оптических приборов.

Историческая справка: Первые линзы из горного хрусталя были обнаружены при раскопках древних цивилизаций (Ассирия, Древний Египет). Научное изучение линз началось в средние века, а массовое производство стеклянных линз было налажено в XIII веке.

Основные понятия и определения

Главная оптическая ось

Прямая, проходящая через центры кривизны обеих преломляющих поверхностей линзы (через оптический центр линзы перпендикулярно её плоскости).

Оптический центр линзы

Точка на главной оптической оси, через которую лучи проходят, не изменяя своего направления.

Фокусное расстояние (F)

Расстояние от оптического центра линзы до её главного фокуса. Характеризует преломляющую способность линзы.

Фокальная плоскость

Плоскость, проходящая через главный фокус линзы перпендикулярно главной оптической оси. Точки фокальной плоскости являются фокусами для параллельных пучков лучей.

Типы линз

Собирающие (выпуклые) линзы

Преобразуют параллельный пучок лучей в сходящийся. Имеют действительные фокусы.

  • Двояковыпуклые
  • Плосковыпуклые
  • Вогнуто-выпуклые (положительные мениски)

Рассеивающие (вогнутые) линзы

Преобразуют параллельный пучок лучей в расходящийся. Имеют мнимые фокусы.

  • Двояковогнутые
  • Плосковогнутые
  • Выпукло-вогнутые (отрицательные мениски)

Формула тонкой линзы

1F=1d+1f \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}
F

Фокусное расстояние линзы [м]

d

Расстояние от линзы до предмета [м]

f

Расстояние от линзы до изображения [м]

Правило знаков: Для собирающих линз F > 0, для рассеивающих F < 0. Для действительных изображений f > 0, для мнимых f < 0. Расстояние до предмета d всегда положительно.

Увеличение линзы

Γ=Hh=fd \Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}
Γ

Линейное увеличение

H

Высота изображения [м]

h

Высота предмета [м]

Интерпретация: Если |Γ| > 1 — изображение увеличенное, если |Γ| < 1 — уменьшенное. Знак Γ указывает на ориентацию: положительный — прямое изображение, отрицательный — перевёрнутое.

Оптическая сила линзы

D=1F D = \frac{1}{F}
D

Оптическая сила [дптр]

F

Фокусное расстояние [м]

Единицы измерения: Диоптрия (дптр) — единица оптической силы, равная обратному метру (1/м). Для собирающих линз D > 0, для рассеивающих D < 0.

Формула изготовителя линз

1F=(n−1)(1R1+1R2) \frac{1}{F} = (n - 1)\left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)
n

Показатель преломления материала

R₁

Радиус кривизны первой поверхности [м]

R₂

Радиус кривизны второй поверхности [м]

Правило знаков для радиусов: Для выпуклой поверхности R > 0, для вогнутой R < 0, для плоской поверхности R = ∞ (1/R = 0).

Характеристики изображений в собирающей линзе

Положение предметаХарактер изображенияОриентацияРазмер
d > 2FДействительноеПеревёрнутоеУменьшенное
d = 2FДействительноеПеревёрнутоеРавное
F < d < 2FДействительноеПеревёрнутоеУвеличенное
d = FИзображение отсутствует--
d < FМнимоеПрямоеУвеличенное

Характеристики изображений в рассеивающей линзе

Для любого положения предмета: мнимое, прямое, уменьшенное изображение, расположенное между линзой и её фокусом.

Система двух тонких линз

1Fсист=1F1+1F2−dF1F2 \frac{1}{F_{\text{сист}}} = \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2} - \frac{d}{F_1 F_2}
F₁, F₂

Фокусные расстояния линз [м]

d

Расстояние между линзами [м]

Fсист

Фокусное расстояние системы [м]

Практическое применение линз

Оптика зрения

  • Очки для коррекции зрения
  • Контактные линзы
  • Лупы и увеличительные стекла

Фотография и видео

  • Объективы фотоаппаратов
  • Телевизионные и кинокамеры
  • Проекционные аппараты

Научные приборы

  • Микроскопы
  • Телескопы и бинокли
  • Спектрометры

Медицина

  • Эндоскопы
  • Офтальмоскопы
  • Хирургические микроскопы
Собирающая линза
Рис.3. Собирающая линза
Рассеивающая линза
Рис.4. Рассеивающая линза
Построение изображения в собирающей линзе
Рис.5. Построение изображения в собирающей линзе
Построение изображения в рассеивающей линзе
Рис.6. Построение изображения в рассеивающей линзе

Зеркала и их оптические свойства

Оптические зеркала

Зеркала — оптические элементы с отражающей поверхностью, которые изменяют направление распространения световых лучей согласно закону отражения. Они широко применяются в различных областях — от бытового использования до сложных научных приборов.

Историческая справка: Первые зеркала из полированного обсидиана использовались еще в древности (около 6000 г. до н.э.). Стеклянные зеркала с металлической подложкой появились в I веке н.э. в Риме, а современная технология производства зеркал с серебряным покрытием была разработана в XIX веке.

Основные типы зеркал

Плоские зеркала

Имеют плоскую отражающую поверхность. Дают мнимое, прямое изображение, равное по размеру предмету.

  • Изображение расположено за зеркалом
  • Расстояние до изображения равно расстоянию до предмета
  • Происходит зеркальное отражение (левое-правое)

Вогнутые (собирающие) зеркала

Имеют вогнутую отражающую поверхность. Фокусируют параллельные лучи в одной точке (фокусе).

  • Имеют действительный фокус
  • Могут создавать действительные и мнимые изображения
  • Используются в телескопах, прожекторах

Выпуклые (рассеивающие) зеркала

Имеют выпуклую отражающую поверхность. Рассеивают параллельные лучи, создавая мнимое изображение.

  • Имеют мнимый фокус
  • Всегда дают мнимое, прямое, уменьшенное изображение
  • Используются в автомобильных зеркалах заднего вида

Формула сферического зеркала

1F=1d+1f=2R \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{2}{R}
F

Фокусное расстояние [м]

d

Расстояние до предмета [м]

f

Расстояние до изображения [м]

R

Радиус кривизны [м]

Правило знаков: Для вогнутых зеркал R и F считаются отрицательными, для выпуклых — положительными. Для действительных изображений f отрицательно, для мнимых — положительно. Расстояние до предмета d всегда положительно.

Увеличение зеркала

Γ=Hh=∣fd∣ \Gamma = \frac{H}{h} = \left| \frac{f}{d} \right|
Γ

Линейное увеличение

H

Высота изображения [м]

h

Высота предмета [м]

Интерпретация: Если Γ > 1 — изображение увеличенное, если Γ < 1 — уменьшенное. Знак увеличения не указывается, так как ориентация изображения определяется отдельно (прямое или перевернутое).

Фокусное расстояние сферического зеркала

F=R2 F = \frac{R}{2}
F

Фокусное расстояние [м]

R

Радиус кривизны [м]

Физический смысл: Фокусное расстояние равно половине радиуса кривизны зеркала. Для вогнутых зеркал F отрицательно, для выпуклых — положительно.

Система двух зеркал

При расположении двух зеркал под углом друг к другу возникает multiple reflections — многократное отражение, создающее несколько изображений.

N=360°α−1 N = \frac{360°}{\alpha} - 1
N

Количество изображений

α

Угол между зеркалами [°]

Особенности: Формула справедлива, когда 360° делится на α без остатка. В противном случае количество изображений равно целой части результата. Если предмет расположен на биссектрисе угла, формула может давать немного другой результат.

Характеристики изображений в зеркалах

Вогнутые (собирающие) зеркала

Положение предметаХарактер изображения
d > |F|Действительное, перевёрнутое
d = |F|В фокусе, изображение в бесконечности
d < |F|Мнимое, прямое, увеличенное

Выпуклые (рассеивающие) зеркала

Для любого положения предмета: мнимое, прямое, уменьшенное изображение, расположенное между зеркалом и его фокусом.

Построение изображений в зеркалах

Метод лучей для построения

  1. Луч, параллельный главной оси, отражается через фокус
  2. Луч, проходящий через фокус, отражается параллельно главной оси
  3. Луч, падающий на полюс зеркала, отражается симметрично
  4. Луч, проходящий через центр кривизны, отражается обратно

Особенности построения

  • Для построения достаточно двух лучей
  • Изображение находится на пересечении отраженных лучей
  • Для мнимых изображений продолжаем лучи за зеркало
  • Все лучи, исходящие из точки предмета, сходятся в точке изображения

Практическое применение зеркал

Бытовое применение

  • Зеркала в домах и автомобилях
  • Зеркала в оптических приборах (перископы, калейдоскопы)
  • Декоративные и архитектурные элементы
  • Системы безопасности и наблюдения

Научное применение

  • Телескопы-рефлекторы (зеркальные телескопы)
  • Лазерные системы и резонаторы
  • Спектроскопические приборы
  • Интерферометры и измерительные системы

Техническое применение

  • Прожекторы и фары автомобилей
  • Солнечные печи и концентраторы
  • Системы наведения и целеуказания
  • Оптические коммутаторы и делители пучка

Медицинское применение

  • Стоматологические зеркала
  • Эндоскопы и медицинские зонды
  • Офтальмоскопы и диагностические приборы
  • Хирургические системы освещения и наблюдения

Аберрации зеркальных систем

Сферическая аберрация

Лучи, параллельные главной оси, но падающие на разные зоны зеркала, пересекаются в разных точках, что приводит к размытию изображения.

Кома

Искажение внеосевых точек, при котором изображение точки принимает форму кометы (вытянутый несимметричный пятна).

Астигматизм

Различная фокусировка лучей в меридиональной и сагиттальной плоскостях, приводящая к деформации изображения.

Кривизна поля

Изображение плоского предмета фокусируется на криволинейной поверхности, а не на плоскости.

Методы коррекции: Для уменьшения аберраций используют параболические, эллиптические и гиперболические зеркала вместо сферических, а также комбинированные зеркально-линзовые системы (катадиоптрические системы).