Определения тригонометрических функций и их графики

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции — функции угла, которые выражают зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Они также определяются через координаты точек на единичной окружности.

🔍 Основное тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ — это соотношение выполняется для любого угла α.

Определения в прямоугольном треугольнике

Синус угла

\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}

\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}

Отношение противолежащего катета к гипотенузе

Косинус угла

\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}

\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}

Отношение прилежащего катета к гипотенузе

Тангенс угла

\tg \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}

\tg \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}

Отношение противолежащего катета к прилежащему

Котангенс угла

\ctg \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}

\ctg \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}

Отношение прилежащего катета к противолежащему

Определения на единичной окружности

На единичной окружности (радиус = 1) с центром в начале координат координаты точки, соответствующей углу α, равны (cos α, sin α).

Основные определения

\sin \alpha = y

Ордината точки на единичной окружности

\cos \alpha = x

Абсцисса точки на единичной окружности

\tg \alpha = \frac{y}{x} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Отношение ординаты к абсциссе

\ctg \alpha = \frac{x}{y} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Отношение абсциссы к ординате

Знаки функций по четвертям

I четверть: sin +, cos +, tg +, ctg +

II четверть: sin +, cos -, tg -, ctg -

III четверть: sin -, cos -, tg +, ctg +

IV четверть: sin -, cos +, tg -, ctg -

Графики и свойства тригонометрических функций

Функция y = sin x

📊 Свойства:

Область определения: $(-\infty, +\infty)$
Область значений: $[-1, 1]$
Период: $2\pi$
Четность: нечетная $(\sin(-x) = -\sin x)$
Нули функции: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

📈 Особенности графика:

Синусоида — гладкая волнообразная кривая
Максимум: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
Минимум: $\frac{3\pi}{2} + 2\pi n$
Возрастает на: $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$
Убывает на: $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$

Функция y = cos x

📊 Свойства:

Область определения: $(-\infty, +\infty)$
Область значений: $[-1, 1]$
Период: $2\pi$
Четность: четная $(\cos(-x) = \cos x)$
Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

📈 Особенности графика:

Косинусоида — сдвинутая синусоида
Максимум: $2\pi n$
Минимум: $\pi + 2\pi n$
Связь с синусом: $\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$
График симметричен относительно оси OY

Функция y = tg x

📊 Свойства:

Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Область значений: $(-\infty, +\infty)$
Период: $\pi$
Четность: нечетная $(\tg(-x) = -\tg x)$
Нули функции: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

📈 Особенности графика:

Тангенсоида — разрывная функция
Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
Возрастает на каждом интервале определения
Неограниченная функция
График симметричен относительно начала координат

Функция y = ctg x

📊 Свойства:

Область определения: $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Область значений: $(-\infty, +\infty)$
Период: $\pi$
Четность: нечетная $(\ctg(-x) = -\ctg x)$
Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

📈 Особенности графика:

Котангенсоида — разрывная функция
Вертикальные асимптоты: $x = \pi n$
Убывает на каждом интервале определения
Связь с тангенсом: $\ctg x = -\tg(x + \frac{\pi}{2})$
График симметричен относительно начала координат

Основные тригонометрические тождества

Основные тождества

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}

\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1

1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}

1 + \ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}

Формулы приведения

\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha

\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha

\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha

\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha

\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha

\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha

Основные тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы — математические выражения, устанавливающие связи между тригонометрическими функциями. Они позволяют упрощать выражения, решать уравнения и доказывать тождества.

💡 Совет: Для запоминания формул используйте мнемонические правила и регулярную практику в решении задач.

Основные тригонометрические тождества

Основное тождество

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Следствия:
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ и $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$

Тангенс и котангенс

\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}

\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tg x}

\tg x \cdot \ctg x = 1

🔗 Производные тождества

1 + \tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}

1 + \ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}

\tg^2 x = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x}

\ctg^2 x = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x}

Формулы сложения (суммы и разности углов)

Синус суммы и разности

\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta

\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta

Мнемоническое правило: «Синус суммы = синус-косинус + косинус-синус»

Косинус суммы и разности

\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Мнемоническое правило: «Косинус суммы = косинус-косинус − синус-синус»

Тангенс суммы и разности

\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}

\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}

Условие: углы α, β, α+β, α-β не равны $\frac{\pi}{2} + \pi n$

📝 Практический пример

Найти $\sin 75^\circ$ используя формулу сложения:

\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ)

= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ

= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}

= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Ответ:

\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Формулы двойного угла

Синус двойного угла

\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha

Следствие: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$

Косинус двойного угла

\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha

\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1

\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha

Три эквивалентные формы

Тангенс двойного угла

\tg 2\alpha = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha}

Условие: $\alpha \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

💡 Применение: Формулы двойного угла используются для упрощения выражений, решения уравнений и вычисления точных значений тригонометрических функций.

Формулы половинного угла

Квадраты синуса и косинуса

\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}

\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}

Также называются формулами понижения степени

Тангенс половинного угла

\tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}

\tg \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}

\tg \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}

Три эквивалентные формы

Преобразование сумм в произведения (формулы Птолемея)

Сумма и разность синусов

\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}

\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}

\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}

\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}

Сумма и разность косинусов

\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}

\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}

\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}

\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}

🎯 Применение: Эти формулы особенно полезны при решении тригонометрических уравнений, упрощении выражений и интегрировании.

Преобразование произведений в суммы

\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]

\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]

\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]

\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]

\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]

\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]

🧠 Шпаргалка для запоминания

Мнемонические правила

Синус суммы: «Синус суммы = синус-косинус + косинус-синус»
Косинус суммы: «Косинус суммы = косинус-косинус − синус-синус»
Основное тождество: «Синус в квадрате плюс косинус в квадрате равно единице»
Формулы приведения: «Если угол (π/2 ± α) или (3π/2 ± α) — функция меняется на кофункцию»

Полезные советы

Запоминайте формулы группами (сложения, двойного угла и т.д.)
Регулярно решайте задачи на применение формул
Выводите одни формулы из других для лучшего понимания
Используйте геометрическую интерпретацию для запоминания

Правила приведения

Правила приведения — формулы, позволяющие свести тригонометрические функции углов вида $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$ , $\pi \pm \alpha$ , $\frac{3\pi}{2} \pm \alpha$ , $2\pi \pm \alpha$ к функциям угла $\alpha$ .

🎯 Цель применения: Упрощение вычислений, решение уравнений, нахождение значений тригонометрических функций для произвольных углов.

Определение знаков по четвертям

I четверть

0°-90°

Все +

II четверть

90°-180°

sin +

III четверть

180°-270°

tg +, ctg +

IV четверть

270°-360°

cos +

Полная таблица приведения

Функция	$\frac{\pi}{2} - \alpha$	$\frac{\pi}{2} + \alpha$	$\pi - \alpha$	$\pi + \alpha$	$\frac{3\pi}{2} - \alpha$	$\frac{3\pi}{2} + \alpha$	$2\pi - \alpha$
sin	$\cos \alpha$	$\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$
cos	$\sin \alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$
tg	$\ctg \alpha$	$-\ctg \alpha$	$-\tg \alpha$	$\tg \alpha$	$\ctg \alpha$	$-\ctg \alpha$	$-\tg \alpha$
ctg	$\tg \alpha$	$-\tg \alpha$	$-\ctg \alpha$	$\ctg \alpha$	$\tg \alpha$	$-\tg \alpha$	$-\ctg \alpha$

💡 Подсказка: Обратите внимание на симметрию в таблице. Например, формулы для $\frac{\pi}{2} - \alpha$ и $\frac{\pi}{2} + \alpha$ отличаются только знаками.

Пошаговый алгоритм применения правил

📋 Алгоритм решения:

Определите, меняется ли функция на кофункцию:
- Если угол содержит $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ — функция меняется
- Если угол содержит $\pi$ или $2\pi$ — функция не меняется
Определите знак результата:
- Представьте, что α — острый угол (0° < α < 90°)
- Определите четверть для данного угла
- Вспомните знак исходной функции в этой четверти
Запишите окончательный результат:
- Поставьте определенный знак
- Запишите функцию (измененную или неизмененную)
- Укажите угол α

✅ Пример применения алгоритма

Упростить выражение: $\sin(\pi - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) - \tg(\pi + \alpha)$

Шаг 1:

\sin(\pi - \alpha)

Угол содержит π → функция не меняется
π - α находится во II четверти → sin положителен
Результат:

\sin \alpha

Шаг 2:

\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)

Угол содержит π/2 → функция меняется на кофункцию (cos → sin)
π/2 + α находится во II четверти → cos отрицателен
Результат:

-\sin \alpha

Шаг 3:

\tg(\pi + \alpha)

Угол содержит π → функция не меняется
π + α находится в III четверти → tg положителен
Результат:

\tg \alpha

Итог:

\sin \alpha + (-\sin \alpha) - \tg \alpha = -\tg \alpha

Практические примеры и задания

📝 Пример 1

Упростить: $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$

Угол содержит 3π/2 → функция меняется (cos → sin)

3π/2 - α находится в III четверти → cos отрицателен

Ответ:

-\sin \alpha

📝 Пример 2

Упростить: $\tg(2\pi - \alpha)$

Угол содержит 2π → функция не меняется

2π - α находится в IV четверти → tg отрицателен

Ответ:

-\tg \alpha

🧠 Шпаргалка для запоминания

Ключевые моменты

Всегда определяйте четверть для нахождения знака
Практикуйтесь на конкретных примерах
Используйте таблицу как справочный материал

Частые ошибки

Путают, когда функция меняется на кофункцию
Неправильно определяют знак результата
Забывают про отрицательные углы
Не проверяют результат подстановкой

Формулы для тригонометрических уравнений

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения — уравнения, содержащие тригонометрические функции неизвестного аргумента. Основой для их решения являются формулы для простейших уравнений и различные методы преобразований.

💡 Ключевой принцип: Любое тригонометрическое уравнение можно свести к одному или нескольким простейшим уравнениям.

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение sin x = a

|a| \leq 1:

x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, n \in \mathbb{Z}

ИЛИ

x = \arcsin a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}

x = \pi-\arcsin a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}

|a| > 1:

нет решений

Геометрическая интерпретация: Точки пересечения синусоиды с горизонтальной прямой y = a

Уравнение cos x = a

|a| \leq 1:

x = \pm \arccos a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}

|a| > 1:

нет решений

Геометрическая интерпретация: Точки пересечения косинусоиды с горизонтальной прямой y = a

Уравнение tg x = a

x = \arctg a + \pi n, n \in \mathbb{Z}

Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$

Уравнение ctg x = a

x = \text{arcctg } a + \pi n, n \in \mathbb{Z}

Область определения: $x \neq \pi n$

Частные случаи простейших уравнений

sin x = 0

x = \pi n, n \in \mathbb{Z}

Нули синусоиды

sin x = 1

x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}

Максимумы синусоиды

sin x = -1

x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}

Минимумы синусоиды

cos x = 0

x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}

Нули косинусоиды

cos x = 1

x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}

Максимумы косинусоиды

cos x = -1

x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}

Минимумы косинусоиды

Метод разложения на множители

📋 Алгоритм решения:

Преобразовать уравнение к виду $f(x) \cdot g(x) = 0$
Решить каждое из уравнений: $f(x) = 0$ и $g(x) = 0$
Объединить решения, учитывая ОДЗ
Записать ответ

📝 Пример: Разложение на множители

Решить уравнение: $\sin x + \sin 2x = 0$

Шаг 1: Применяем формулу синуса двойного угла:

\sin x + 2\sin x \cos x = 0

Шаг 2: Выносим общий множитель:

\sin x (1 + 2\cos x) = 0

Шаг 3: Решаем каждое уравнение:

\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}

1 + 2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2}

x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}

Ответ:

x = \pi n, x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, n,k \in \mathbb{Z}

Однородные тригонометрические уравнения

Однородные уравнения 1-й степени

a\sin x + b\cos x = 0

Решается делением на $\cos x \neq 0$

Однородные уравнения 2-й степени

a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0

a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0

Решается делением на $\cos^2 x \neq 0$

📝 Пример: Однородное уравнение 1-й степени

Решить уравнение: $\sin x + \cos x = 0$

Шаг 1: Делим на

\cos x \neq 0

\frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 0

Шаг 2: Получаем уравнение с тангенсом:

\tg x + 1 = 0

Шаг 3: Решаем простейшее уравнение:

\tg x = -1

x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}

Ответ:

x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}

Метод введения вспомогательного угла

Уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$ решается методом введения вспомогательного угла.

a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \varphi)

a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \varphi)

где $\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

📝 Пример: Вспомогательный угол

Решить уравнение: $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 1$

Шаг 1: Находим коэффициент:

\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2

Шаг 2: Делим уравнение на 2:

\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \frac{1}{2}

Шаг 3: Замечаем, что:

\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}

Шаг 4: Применяем формулу сложения:

\sin x \cos\frac{\pi}{3} + \cos x \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}

\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}

Шаг 5: Решаем простейшее уравнение:

x + \frac{\pi}{3} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n

x = (-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n

Ответ:

x = (-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}

Дополнительные методы решения

Универсальная подстановка

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, t = \tg\frac{x}{2}$

Применяется, когда другие методы не работают

Функциональные методы

Оценка левой и правой частей
Использование ограниченности функций
Графические методы

🚨 Важные замечания

✅ Что проверять:

Область допустимых значений (ОДЗ)
Принадлежность корней заданному промежутку
Посторонние корни при возведении в квадрат
Ограниченность тригонометрических функций

❌ Частые ошибки:

Забывают про знак ± в уравнении cos x = a
Путают формулы для sin x = a и cos x = a
Не учитывают периодичность решений
Неправильно находят вспомогательный угол

Свойства тригонометрических функций

Свойства тригонометрических функций — характеристики, которые помогают анализировать поведение функций, строить графики и решать уравнения. К ним относятся четность, периодичность, монотонность, экстремумы и ограниченность.

🎯 Практическое применение: Знание свойств позволяет предсказывать поведение функций, находить корни уравнений и оптимизировать вычисления.

Четность и нечетность функций

Нечетные функции

График симметричен относительно начала координат:

\sin(-x) = -\sin x

\tg(-x) = -\tg x

\ctg(-x) = -\ctg x

Свойство: $f(-x) = -f(x)$

Четная функция

График симметричен относительно оси OY:

\cos(-x) = \cos x

Свойство: $f(-x) = f(x)$

💡 Практическое применение: Четность/нечетность позволяет упрощать вычисления, особенно при работе с определенными интегралами и решении уравнений.

Периодичность функций

Основной период

\sin(x + 2\pi) = \sin x

\cos(x + 2\pi) = \cos x

\tg(x + \pi) = \tg x

\ctg(x + \pi) = \ctg x

Наименьший положительный период:

sin x, cos x: $2\pi$ ; tg x, ctg x: $\pi$

Период для кратных аргументов

\sin(kx)

→ период

\frac{2\pi}{k}

\cos(kx)

→ период

\frac{2\pi}{k}

\tg(kx)

→ период

\frac{\pi}{k}

\ctg(kx)

→ период

\frac{\pi}{k}

Пример: $\sin(3x)$ имеет период $\frac{2\pi}{3}$

📈 Особенность: Периодичность позволяет изучать функцию на одном периоде и распространять результаты на всю числовую прямую.

Монотонность функций

Функция	Промежутки возрастания	Промежутки убывания	Особенности
sin x	$[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$	$[\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$	Возрастает на участках вблизи минимумов
cos x	$[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$	$[0 + 2\pi n, \pi + 2\pi n]$	Убывает на участках вблизи максимумов
tg x	$(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$	не убывает	Строго возрастает на каждом интервале определения
ctg x	не возрастает	$(0 + \pi n, \pi + \pi n)$	Строго убывает на каждом интервале определения

📊 Графическая интерпретация

sin x: волнообразное движение с чередованием возрастания и убывания
cos x: сдвинутая синусоида с аналогичным поведением
tg x: неограниченный рост на каждом интервале
ctg x: неограниченное убывание на каждом интервале

🎯 Практическое применение

Определение количества корней уравнения
Нахождение промежутков знакопостоянства
Решение неравенств
Оптимизация функций

Экстремумы и ограниченность

sin x

Максимум:

(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 1)

Минимум:

(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, -1)

Ограниченность:

|\sin x| \leq 1

cos x

Максимум:

(2\pi n, 1)

Минимум:

(\pi + 2\pi n, -1)

Ограниченность:

|\cos x| \leq 1

tg x

Экстремумы: не имеет

Ограниченность: неограниченная

Область значений:

(-\infty, +\infty)

ctg x

Экстремумы: не имеет

Ограниченность: неограниченная

Область значений:

(-\infty, +\infty)

Области определения и значений

Функция	Область определения	Область значений	Нули функции
sin x	$(-\infty, +\infty)$	$[-1, 1]$	$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
cos x	$(-\infty, +\infty)$	$[-1, 1]$	$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
tg x	$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$	$(-\infty, +\infty)$	$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
ctg x	$x \neq \pi n$	$(-\infty, +\infty)$	$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

🧠 Шпаргалка для запоминания

Ключевые свойства

Четность: cos x — четная, остальные — нечетные
Периодичность: sin/cos: 2π, tg/ctg: π
Ограниченность: sin x, cos x ∈ [-1, 1]
Монотонность: tg x всегда возрастает, ctg x всегда убывает
Экстремумы: sin x, cos x имеют максимумы и минимумы

Практические советы

Для определения четности проверяйте f(-x)
Период сложной функции — НОК периодов составляющих
Монотонность изучайте на одном периоде
Область значений находите через ограниченность
Нули функций помогают в решении уравнений

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции — функции, обратные к тригонометрическим функциям. Они позволяют находить угол по значению тригонометрической функции.

💡 Основная идея: Если $y = \sin x$ , то $x = \arcsin y$ . Обратные функции существуют потому, что тригонометрические функции на определенных промежутках являются монотонными.

Арксинус (arcsin)

📋 Основные свойства

Определение: $y = \arcsin x \Leftrightarrow x = \sin y$
Область определения: $[-1, 1]$
Область значений: $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
Монотонность: строго возрастает
Четность: нечетная $(\arcsin(-x) = -\arcsin x)$

📈 График и особенности

График симметричен относительно начала координат
Проходит через точки: (-1, -π/2), (0, 0), (1, π/2)
Является обратной к синусу на отрезке [-π/2, π/2]
Имеет вертикальные асимптоты при x → ±1

🎯 Практическое применение: Арксинус используется для нахождения угла по значению синуса, при решении уравнений вида sin x = a, в физике и инженерии.

Арккосинус (arccos)

📋 Основные свойства

Определение: $y = \arccos x \Leftrightarrow x = \cos y$
Область определения: $[-1, 1]$
Область значений: $[0, \pi]$
Монотонность: строго убывает
Свойство: $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$

📈 График и особенности

График симметричен относительно точки (0, π/2)
Проходит через точки: (-1, π), (0, π/2), (1, 0)
Является обратной к косинусу на отрезке [0, π]
Не является ни четной, ни нечетной

🎯 Практическое применение: Арккосинус используется в геометрии для нахождения углов треугольников, в компьютерной графике и навигационных системах.

Арктангенс (arctg)

📋 Основные свойства

Определение: $y = \arctg x \Leftrightarrow x = \tg y$
Область определения: $(-\infty, +\infty)$
Область значений: $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
Монотонность: строго возрастает
Четность: нечетная $(\arctg(-x) = -\arctg x)$

📈 График и особенности

График имеет горизонтальные асимптоты: y = ±π/2
Проходит через начало координат (0, 0)
Является обратной к тангенсу на интервале (-π/2, π/2)
Имеет точку перегиба в начале координат

🎯 Практическое применение: Арктангенс широко используется в программировании, физике (например, для нахождения углов в механике), и в финансовых расчетах.

4Арккотангенс (arcctg)

📋 Основные свойства

Определение: $y = \text{arcctg } x \Leftrightarrow x = \ctg y$
Область определения: $(-\infty, +\infty)$
Область значений: $(0, \pi)$
Монотонность: строго убывает
Свойство: $\text{arcctg }(-x) = \pi - \text{arcctg } x$

📈 График и особенности

График имеет горизонтальные асимптоты: y = 0 и y = π
Проходит через точку (0, π/2)
Является обратной к котангенсу на интервале (0, π)
Не является ни четной, ни нечетной

🎯 Практическое применение: Арккотангенс используется в тех случаях, когда удобнее работать с котангенсом, в статистике и теории вероятностей.

Сравнительная таблица обратных тригонометрических функций

Функция	Область определения	Область значений	Монотонность	Четность
arcsin x	$[-1, 1]$	$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$	возрастает	нечетная
arccos x	$[-1, 1]$	$[0, \pi]$	убывает	-
arctg x	$\mathbb{R}$	$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$	возрастает	нечетная
arcctg x	$\mathbb{R}$	$(0, \pi)$	убывает	-

Соотношения между обратными тригонометрическими функциями

Основные тождества

\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}

\arctg x + \text{arcctg } x = \frac{\pi}{2}

\arcsin x = \arccos \sqrt{1 - x^2}

для

x \geq 0

\arccos x = \arcsin \sqrt{1 - x^2}

для

x \geq 0

Формулы преобразования

\arctg x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}

\arccos x = \arctg \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}

для

x > 0

\arcsin x = \arctg \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}

\text{arcctg } x = \arccos \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}

Практические примеры и вычисления

📝 Пример 1: Вычисление значения

Вычислить: $\sin(\arccos \frac{3}{5})$

Шаг 1: Обозначим угол:

\alpha = \arccos \frac{3}{5} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{5}

Шаг 2: Найдем синус угла α:

\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2}

Шаг 3: Вычислим:

= \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}

Ответ:

\sin(\arccos \frac{3}{5}) = \frac{4}{5}

📝 Пример 2: Упрощение выражения

Упростить: $\cos(\arcsin x)$

Шаг 1: Обозначим угол:

\alpha = \arcsin x \Rightarrow \sin \alpha = x

Шаг 2: Найдем косинус угла α:

\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - x^2}

Ответ:

\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}

🧠 Шпаргалка для запоминания

Ключевые моменты

Арксинус и арктангенс — нечетные функции
Арккосинус и арккотангенс — не являются ни четными, ни нечетными
Арксинус и арккосинус определены только на [-1, 1]
Арктангенс и арккотангенс определены на всей числовой прямой
Запомните основные тождества между функциями

Практические советы

Для вычислений используйте определение обратной функции
Помните об ограничениях областей значений
Используйте тождества для упрощения выражений
Внимательно проверяйте область определения
Регулярно практикуйтесь в решении задач