Стереометрия

Основные понятия стереометрии

Что такое стереометрия?

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий свойства фигур в трёхмерном пространстве.

🎯 Ключевое отличие от планиметрии: В стереометрии изучаются не только длина и ширина, но и глубина, что добавляет новые свойства и взаимные расположения фигур.

Аксиомы стереометрии

Аксиома 1: Через три точки

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2: Прямая в плоскости

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Аксиома 3: Пересечение плоскостей

Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Основные понятия и объекты

Плоскость

Бесконечная двумерная поверхность, не имеющая толщины.

Обозначение: α, β, γ или (ABC)

Прямая в пространстве

Бесконечная одномерная линия, не имеющая толщины.

Обозначение: a, b, c или (AB)

Отрезок в пространстве

Часть прямой, ограниченная двумя точками.

Обозначение: AB, длина |AB|

Угол между прямыми

Наименьший угол между двумя прямыми в пространстве.

Измерение: 0° ≤ φ ≤ 90°

Взаимное расположение в пространстве

Прямые в пространстве

Пересекающиеся

Имеют одну общую точку

Параллельные

Лежат в одной плоскости и не пересекаются

Скрещивающиеся

Не лежат в одной плоскости и не пересекаются

Прямая и плоскость

Лежит в плоскости

Все точки прямой принадлежат плоскости

Параллельна

Не имеет общих точек с плоскостью

Пересекает

Имеет одну общую точку с плоскостью

Плоскости в пространстве

Совпадающие

Все точки одной принадлежат другой

Параллельные

Не имеют общих точек

Пересекающиеся

Пересекаются по прямой линии

Параллельность в пространстве

Параллельность в трёхмерном пространстве

Параллельность — одно из фундаментальных понятий стереометрии, описывающее взаимное расположение фигур без общих точек.

📏 Важное свойство: Параллельные фигуры сохраняют постоянное расстояние между собой во всех точках.

Параллельные прямые

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Признак параллельности прямых

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Если a ∥ c и b ∥ c, то a ∥ b

Параллельность прямой и плоскости

Определение: Прямая параллельна плоскости, если она не пересекает эту плоскость.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Параллельные плоскости

Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей

Свойство 1: Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Свойство 2: Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Перпендикулярность в пространстве

Перпендикулярность в трёхмерном пространстве

Перпендикулярность — важнейшее понятие стереометрии, определяющее взаимное расположение фигур под углом 90°.

📐 Ключевое применение: Перпендикулярность используется для определения расстояний и построения проекций.

Перпендикулярные прямые

Определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение: Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Перпендикулярные плоскости

Определение: Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Признак перпендикулярности плоскостей

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Расстояния в пространстве

Расстояние от точки до плоскости

Длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Расстояние между параллельными плоскостями

Расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Длина общего перпендикуляра к этим прямым.

Расстояние от точки до прямой

Длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Многогранники

Многогранники в пространстве

Многогранник — геометрическое тело, ограниченное конечным числом многоугольников.

🎲 Классификация: Многогранники делятся на выпуклые и невыпуклые, правильные и неправильные.

Элементы многогранника

Грань

Многоугольник, ограничивающий многогранник

Количество граней определяет название многогранника

Ребро

Сторона грани, линия пересечения двух граней

Обозначение: AB, BC, CD...

Вершина

Точка, где сходятся три или более ребер

Обозначение: A, B, C, D...

Диагональ

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани

Не лежит на поверхности многогранника

Призмы

Определение: Многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы.

Прямая призма

Боковые ребра перпендикулярны основаниям

Боковые грани — прямоугольники

Наклонная призма

Боковые ребра не перпендикулярны основаниям

Боковые грани — параллелограммы

Правильная призма

Прямая призма с правильным многоугольником в основании

Все боковые грани равны

Параллелепипед

Частный случай призмы, в основании которой лежит параллелограмм.

Прямоугольный параллелепипед

Все грани — прямоугольники

Куб

Частный случай с квадратными гранями

Пирамиды

Определение: Многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину (вершину пирамиды).

Правильная пирамида

Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

Все боковые ребра равны, боковые грани — равнобедренные треугольники

Усеченная пирамида

Многогранник, полученный путем сечения пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Имеет два параллельных основания

Правильные многогранники (Тела Платона)

Определение: Выпуклые многогранники, все грани которых — равные правильные многоугольники, и все многогранные углы равны.

Тетраэдр

4 грани (треугольники)

4 вершины, 6 ребер

Гексаэдр (Куб)

6 граней (квадраты)

8 вершин, 12 ребер

Октаэдр

8 граней (треугольники)

6 вершин, 12 ребер

Додекаэдр

12 граней (пятиугольники)

20 вершин, 30 ребер

Икосаэдр

20 граней (треугольники)

12 вершин, 30 ребер

Тела вращения

Тела вращения

Тело вращения — геометрическое тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в ее плоскости.

🔄 Симметрия: Все тела вращения обладают осевой симметрией.

Цилиндр

Определение: Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Элементы цилиндра

  • Основания: два равных круга
  • Ось: прямая, проходящая через центры оснований
  • Образующая: отрезок, соединяющий точки окружностей оснований
  • Высота: расстояние между основаниями
  • Радиус: радиус основания

Свойства

  • • Образующие параллельны и равны высоте
  • • Осевое сечение — прямоугольник
  • • Сечение плоскостью, параллельной основанию — круг

Конус

Определение: Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Элементы конуса

  • Основание: круг
  • Вершина: точка, противоположная основанию
  • Ось: прямая, соединяющая вершину с центром основания
  • Образующая: отрезок, соединяющий вершину с точкой окружности основания
  • Высота: расстояние от вершины до основания

Усеченный конус

Часть конуса, заключенная между основанием и сечением, параллельным основанию.

Имеет два основания разного радиуса

Шар и сфера

Шар

Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра.

Сфера

Поверхность шара — множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки (центра).

Элементы шара

  • Центр: точка, равноудаленная от всех точек сферы
  • Радиус: расстояние от центра до любой точки сферы
  • Диаметр: отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр
  • Сфера: поверхность шара

Сечения тел вращения

Цилиндр

  • • Параллельно оси → прямоугольник
  • • Параллельно основанию → круг
  • • Под углом к основанию → эллипс

Конус

  • • Через вершину → треугольник
  • • Параллельно основанию → круг
  • • Под углом к основанию → эллипс

Шар

  • • Любая плоскость → круг
  • • Через центр → большой круг
  • • Касательная плоскость → точка

Объемы тел

Объемы геометрических тел

Объем — величина, характеризующая занимаемую телом часть пространства.

📦 Основное свойство: Равные тела имеют равные объемы. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Объемы многогранников

Прямоугольный параллелепипед

V=a⋅b⋅c V = a \cdot b \cdot c

где a, b, c — измерения параллелепипеда

Для куба: V = a³ (все измерения равны)

Призма

V=Sосн⋅h V = S_{осн} \cdot h

где Sосн — площадь основания, h — высота призмы

Пирамида

V=13Sосн⋅h V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h

где Sосн — площадь основания, h — высота пирамиды

Усеченная пирамида

V=13h(S1+S2+S1S2) V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})

где S1, S2 — площади оснований, h — высота

Объемы тел вращения

Цилиндр

V=πR2h V = \pi R^2 h

где R — радиус основания, h — высота цилиндра

Конус

V=13πR2h V = \frac{1}{3} \pi R^2 h

где R — радиус основания, h — высота конуса

Усеченный конус

V=13πh(R2+Rr+r2) V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)

где R, r — радиусы оснований, h — высота

Шар

V=43πR3 V = \frac{4}{3} \pi R^3

где R — радиус шара

Объем шара в 2 раза больше объема вписанного цилиндра

Шаровой сегмент

V=πh2(R−h3) V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})

где R — радиус шара, h — высота сегмента

Практическое применение

Единицы измерения

  • • 1 м³ = 1000 дм³ (литров)
  • • 1 дм³ = 1000 см³
  • • 1 см³ = 1000 мм³

Примеры из жизни

  • • Объем комнаты (параллелепипед)
  • • Объем банки (цилиндр)
  • • Объем мяча (шар)
  • • Объем ведра (усеченный конус)

Площади поверхностей

Площади поверхностей геометрических тел

Площадь поверхности — сумма площадей всех граней тела. Различают боковую и полную площадь поверхности.

📐 Важно: Боковая площадь включает только боковые грани, полная — все грани тела.

Площади поверхностей многогранников

Призма

Боковая поверхность

Sбок=Pосн⋅h S_{бок} = P_{осн} \cdot h

Pосн — периметр основания, h — высота

Полная поверхность

Sполн=Sбок+2Sосн S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}

Sосн — площадь основания

Пирамида

Боковая поверхность

Sбок=12Pосн⋅l S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l

l — апофема (высота боковой грани), Pосн — периметр основания

Полная поверхность

Sполн=Sбок+Sосн S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}

Sосн — площадь основания, Sбок — площадь боковой поверхности

Усеченная пирамида

Боковая поверхность

Sбок=12(P1+P2)⋅l S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l

P1, P2 — периметры оснований

Площади поверхностей тел вращения

Цилиндр

Боковая поверхность

Sбок=2πRh S_{бок} = 2\pi R h

R — радиус, h — высота цилиндра

Полная поверхность

Sполн=2πR(h+R) S_{полн} = 2\pi R (h + R)

R — радиус, h — высота цилиндра

Конус

Боковая поверхность

Sбок=πRl S_{бок} = \pi R l

l — образующая конуса, R — радиус основания конуса

Полная поверхность

Sполн=πR(l+R) S_{полн} = \pi R (l + R)

Усеченный конус

Боковая поверхность

Sбок=πl(R+r) S_{бок} = \pi l (R + r)

R, r — радиусы оснований

Сфера

Площадь поверхности

S=4πR2 S = 4\pi R^2

Площадь сферы в 4 раза больше площади большого круга

Практическое применение

Примеры из жизни

  • • Покраска стен (боковая поверхность призмы)
  • • Обои для комнаты (площадь поверхности)
  • • Упаковка подарка (полная поверхность)
  • • Покрытие сферы (краска для мяча)

Единицы измерения

  • • 1 м² = 10 000 см²
  • • 1 дм² = 100 см²
  • • 1 см² = 100 мм²
  • • 1 ар (сотка) = 100 м²
  • • 1 гектар = 10 000 м²

Координаты в пространстве

Координатный метод в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве позволяет точно определять положение точек и решать геометрические задачи аналитическими методами.

🎯 Трехмерность: В отличие от плоскости, в пространстве добавляется третья координата — аппликата (Z).

Прямоугольная система координат

Определение: Система, образованная тремя взаимно перпендикулярными осями (OX, OY, OZ) с общим началом в точке O.

Ось OX

Абсцисса

Горизонтальная ось

Ось OY

Ордината

Вертикальная ось

Ось OZ

Аппликата

Глубина (третье измерение)

Основные формулы и уравнения

Расстояние между точками

AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂)

Координаты середины отрезка

x0=x1+x22 x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}
y0=y1+y22 y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2}
z0=z1+z22 z_0 = \frac{z_1 + z_2}{2}

Уравнение сферы

(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2 (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2

(x₀, y₀, z₀) — центр сферы, R — радиус

Векторы в пространстве

Координаты вектора

AB⃗=(x2−x1,y2−y1,z2−z1) \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)

A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂)

Длина вектора

∣a⃗∣=ax2+ay2+az2 |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}

Скалярное произведение

a⃗⋅b⃗=axbx+ayby+azbz \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z

Угол между векторами

cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣ \cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Плоскости и расстояния

Уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0 Ax + By + Cz + D = 0

(A, B, C) — нормальный вектор

Расстояние от точки до плоскости

d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2 d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Углубленная стереометрия

Продвинутые теоремы стереометрии

Углубленные разделы стереометрии содержат мощные теоремы и методы для решения сложных пространственных задач.

🎓 Для углубленного изучения: Эти теоремы используются в олимпиадных задачах и высшей математике.

Теоремы о тетраэдре

Теорема Менелая для тетраэдра

Если плоскость пересекает ребра AB, BC, CD и DA тетраэдра ABCD в точках K, L, M и N соответственно, то:

AKKB⋅BLLC⋅CMMD⋅DNNA=1 \frac{AK}{KB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MD} \cdot \frac{DN}{NA} = 1

Теорема Чевы для тетраэдра

Для точек K, L, M, N на ребрах AB, BC, CD и DA соответственно, отрезки AK, BL, CM и DN пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:

AKKB⋅BLLC⋅CMMD⋅DNNA=1 \frac{AK}{KB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MD} \cdot \frac{DN}{NA} = 1

Теоремы о сферах и многогранниках

Теорема Эйлера для многогранников

Для любого выпуклого многогранника выполняется:

В−Р+Г=2 В - Р + Г = 2

В — вершины, Р — ребра, Г — грани

Теорема о трех сферах (Монжа)

Центры внешнего подобия трех сфер, взятых попарно, лежат на одной прямой.

Важные теоремы и формулы

Площадь проекции

Sпр=S⋅cos⁡φ S_{пр} = S \cdot \cos \varphi

S — площадь фигуры, φ — угол между плоскостями

Объемы подобных тел

V1V2=k3 \frac{V_1}{V_2} = k^3

k — коэффициент подобия

Сферический избыток

S=R2(α+β+γ−π) S = R^2 (\alpha + \beta + \gamma - \pi)

Для сферического треугольника

Конические сечения

Сечение конуса плоскостью может дать:

  • • Эллипс (окружность)
  • • Параболу
  • • Гиперболу

Практическое применение

Эти теоремы находят применение в:

Кристаллография

Изучение структуры кристаллов

Архитектура

Проектирование сложных конструкций

Астрономия

Расчеты небесной механики

Компьютерная графика

3D-моделирование и рендеринг