Основные понятия планиметрии

Планиметрия — раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости. Основные понятия служат фундаментом для построения всей геометрической теории.

📐 Основа геометрии: Все геометрические построения и доказательства основываются на этих фундаментальных понятиях и аксиомах.

Основные геометрические фигуры

Точка

Основное понятие геометрии, не имеющее размеров.

Обозначение: A, B, C...

Прямая

Бесконечная линия, не имеющая curvature и толщины.

Обозначение: a, b, c или (AB)

Отрезок

Часть прямой, ограниченная двумя точками.

Обозначение: AB, длина |AB|

Луч

Часть прямой, имеющая начало, но не имеющая конца.

Обозначение: [OA)

Угол

Фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Обозначение: ∠ABC, измерение: градусы

Многоугольник

Замкнутая ломаная линия.

Треугольник, четырехугольник и т.д.

Окружность

Множество точек плоскости, равноудаленных от центра.

Радиус R, диаметр D = 2R

Круг

Часть плоскости, ограниченная окружностью.

Площадь: S = πR²

Аксиомы планиметрии

Аксиомы — основные положения, принимаемые без доказательства. Они служат основанием для доказательства теорем.

Аксиома 1: Через две точки

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Если A ≠ B, то ∃! прямая (AB)

Аксиома 2: Отложение отрезка

На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

∀ луч [OA) и ∀ отрезок CD, ∃! точка B ∈ [OA): AB = CD

Аксиома 3: Отложение угла

От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному.

∀ луч [OA) и ∀ угол ∠BCD, ∃! луч [OB): ∠AOB = ∠BCD

Аксиома 4: Равенство треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответствующим элементам другого, то треугольники равны.

Аксиома 5: Параллельность

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Основные отношения между фигурами

Параллельность

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Обозначение: a ∥ b

Перпендикулярность

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Обозначение: a ⊥ b

Касание

Прямая и окружность касаются, если имеют ровно одну общую точку.

Расстояние от центра до прямой равно радиусу

Пересечение

Фигуры пересекаются, если имеют общие точки.

Может быть 0, 1, 2 или более точек пересечения

Углы и параллельные прямые

Изучение углов и их свойств является фундаментальным для понимания геометрии. Знание признаков и свойств параллельных прямых позволяет решать сложные геометрические задачи.

📐 Практическое значение: Эти понятия широко применяются в архитектуре, инженерии, строительстве и дизайне для расчетов и построений.

Виды углов

Основные типы углов

Острый угол:0° < α < 90°

Прямой угол:α = 90°

Тупой угол:90° < α < 180°

Развернутый угол:α = 180°

Дополнительные типы

Полный угол:α = 360°

Выпуклый угол:0° < α < 180°

Вогнутый угол:180° < α < 360°

Нулевой угол:α = 0°

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы

Углы, у которых одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами.

\alpha + \beta = 180^\circ

Свойство: сумма смежных углов равна 180°

Вертикальные углы

Углы, образованные при пересечении двух прямых и не являющиеся смежными.

\alpha = \gamma, \quad \beta = \delta

Свойство: вертикальные углы равны

💡 Запомните: Смежные углы всегда дополняют друг друга до развернутого угла, а вертикальные углы всегда равны между собой.

3Признаки параллельности прямых

Если две прямые пересечены секущей, то для их параллельности достаточно выполнения одного из следующих условий:

Накрест лежащие углы

Если накрест лежащие углы равны

\angle 3 = \angle 5

Соответственные углы

Если соответственные углы равны

\angle 1 = \angle 5

Односторонние углы

Если сумма односторонних углов равна 180°

\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ

Свойства параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

Накрест лежащие углы равны

$\angle 3 = \angle 5$ , $\angle 4 = \angle 6$

Соответственные углы равны

$\angle 1 = \angle 5$ , $\angle 2 = \angle 6$ , $\angle 3 = \angle 7$ , $\angle 4 = \angle 8$

Сумма односторонних углов равна 180°

$\angle 3 + \angle 6 = 180^\circ$ , $\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ$

Практическое применение

Архитектура и строительство

Расчет углов наклона крыш
Построение параллельных стен
Проверка перпендикулярности конструкций

Дизайн и искусство

Построение перспективы
Создание симметричных композиций
Проектирование узоров и орнаментов

Треугольники

Треугольник — простейшая плоская фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой.

📐 Фундаментальная фигура: Треугольник является базовой фигурой планиметрии — любые многоугольники можно разбить на треугольники.

Классификация треугольников

По сторонам

Разносторонний

Все стороны имеют разную длину

a ≠ b ≠ c

Равнобедренный

Две стороны равны (боковые)

a = b ≠ c

Равносторонний

Все стороны равны

a = b = c

По углам

Остроугольный

Все углы меньше 90°

α, β, γ < 90°

Прямоугольный

Один угол равен 90°

α = 90°

Тупоугольный

Один угол больше 90°

α > 90°

Основные элементы треугольника

Медиана

Отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы пересекаются в одной точке — центроиде

Биссектриса

Отрезок, делящий угол при вершине пополам.

Три биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности

Высота

Перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону.

Три высоты пересекаются в ортоцентре

Основные теоремы о треугольниках

Теорема о сумме углов

\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ

Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.

Теорема Пифагора

a^2 + b^2 = c^2

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Гипотенуза: c

Катеты: a, b

Соотношения в прямоугольном треугольнике

h^2 = a_c \cdot b_c

a^2 = c \cdot a_c, \quad b^2 = c \cdot b_c

где h — высота, a_c и b_c — проекции катетов на гипотенузу.

Признаки равенства треугольников

По двум сторонам и углу

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответствующим элементам другого.

Сторона-Угол-Сторона (SAS)

По стороне и двум углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответствующим элементам другого.

Угол-Сторона-Угол (ASA)

По трем сторонам

Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого.

Сторона-Сторона-Сторона (SSS)

Формулы площади треугольника

Через основание и высоту

S = \frac{1}{2}ah

Формула Герона

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

где p — полупериметр

Через две стороны и угол

S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma

Для прямоугольного треугольника

S = \frac{1}{2}ab

Четырехугольники

Четырехугольник — многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна 360°.

📐 Классификация: Четырехугольники классифицируются по параллельности сторон, равенству сторон и величине углов.

Основные виды четырехугольников

Параллелограмм

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства:

Противоположные стороны равны
Противоположные углы равны
Диагонали точкой пересечения делятся пополам
Сумма соседних углов равна 180°

Площадь:

S = ah

(основание × высота)

S = ab\sin\alpha

(через стороны и угол)

Прямоугольник

Параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства:

Все свойства параллелограмма
Все углы равны 90°
Диагонали равны
Диагонали точкой пересечения делятся пополам

Площадь:

S = ab

(длина × ширина)

Ромб

Параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства:

Все свойства параллелограмма
Все стороны равны
Диагонали перпендикулярны
Диагонали делят углы пополам

Площадь:

S = ah

(сторона × высота)

S = \frac{d_1d_2}{2}

(через диагонали)

Квадрат

Прямоугольник, у которого все стороны равны (или ромб с прямыми углами).

Свойства:

Все свойства прямоугольника и ромба
Все стороны равны
Все углы равны 90°
Диагонали равны, перпендикулярны и делят углы пополам

Площадь:

S = a^2

(сторона в квадрате)

S = \frac{d^2}{2}

(через диагональ)

Трапеция

Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Виды трапеций:

Равнобедренная — боковые стороны равны
Прямоугольная — один угол прямой
Произвольная — общий случай

Средняя линия:

m = \frac{a + b}{2}

Площадь:

S = \frac{a + b}{2}h

2Сравнительная таблица четырехугольников

Четырехугольник	Стороны	Углы	Диагонали	Оси симметрии
Параллелограмм	Попарно равны	Попарно равны	Делятся пополам	0
Прямоугольник	Попарно равны	Все 90°	Равны, делятся пополам	2
Ромб	Все равны	Попарно равны	Перпендикулярны, делят углы	2
Квадрат	Все равны	Все 90°	Равны, перпендикулярны	4
Трапеция	2 параллельные	Разные	Разные	0-1

3Формулы площадей четырехугольников

Параллелограмм

S = a \cdot h

Прямоугольник

S = a \cdot b

Ромб

S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

Квадрат

S = a^2

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

Произвольный четырехугольник

S = \frac{d_1 d_2 \sin\varphi}{2}

Окружность и круг

Окружность — одна из фундаментальных фигур геометрии, обладающая уникальными свойствами симметрии. Изучение окружности имеет важное значение в математике, физике, инженерии и многих других областях.

🎯 Особенность: Окружность обладает бесконечным количеством осей симметрии (любой диаметр является осью симметрии).

Основные определения

Окружность

Множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

Уравнение: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Круг

Часть плоскости, ограниченная окружностью (включая саму окружность).

Площадь: $S = \pi R^2$

Основные элементы окружности

Радиус (R)

Отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности.

Все радиусы одной окружности равны

Диаметр (D)

Хорда, проходящая через центр окружности.

$D = 2R$ - наибольшая хорда

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр - частный случай хорды

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.

Перпендикулярна радиусу в точке касания

💡 Запомните: Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Касательная — предельный случай секущей.

Углы в окружности

Центральный угол

Угол с вершиной в центре окружности.

\angle AOB

Измеряется дугой, на которую опирается

Вписанный угол

Угол, вершина которого лежит на окружности.

\angle ACB

Измеряется половиной дуги, на которую опирается

Теорема о вписанном угле

\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC

Следствия:

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой (90°)
Вписанный угол измеряется половиной центрального угла, опирающегося на ту же дугу

Свойства и теоремы

Свойства хорд

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам
Хорды, равноудаленные от центра, равны
Перпендикуляры из центра к хордам делят их пополам
Если хорды пересекаются, то произведения отрезков равны

Свойства касательных

Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания
Отрезки касательных из одной точки равны
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу
Касательные к окружности параллельны или пересекаются

Теорема о секущих и касательной

Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая:

AB^2 = AC \cdot AD

Теорема о пересекающихся хордах

Если две хорды пересекаются:

AE \cdot EB = CE \cdot ED

Формулы для вычислений

Длина окружности

C = 2\pi R = \pi D

где R — радиус, D — диаметр

Площадь круга

S = \pi R^2 = \frac{\pi D^2}{4}

Длина дуги окружности

l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}

где α — центральный угол в градусах

Площадь сектора

S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}

где α — центральный угол в градусах

Площадь сегмента

S = \frac{R^2}{2}(\alpha - \sin\alpha)

где α — центральный угол в радианах

Радиус вписанной окружности в треугольник

r = \frac{S}{p}

где S — площадь, p — полупериметр

Вписанные и описанные окружности

Описанная окружность

Окружность, проходящая через все вершины многоугольника.

Около любого треугольника можно описать окружность
Центр — точка пересечения серединных перпендикуляров
Для прямоугольного треугольника центр — середина гипотенузы

Вписанная окружность

Окружность, касающаяся всех сторон многоугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность
Центр — точка пересечения биссектрис
Касается сторон треугольника в одной точке

Практическое применение

Техника и инженерия

Колеса и шестеренки в механизмах
Трубы и цилиндрические конструкции
Оптические системы (линзы, зеркала)
Архитектурные элементы (арки, купола)

Наука и природа

Орбиты планет и спутников
Волновые фронты в физике
Строение клеток в биологии
Круговые процессы в химии

📐 Интересный факт: Число π (пи) — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к её диаметру. Это иррациональное число, приближенно равное 3.14159.

Подобие фигур

Подобные фигуры — фигуры, имеющие одинаковую форму, но возможно разные размеры. Подобие является одним из важнейших понятий геометрии.

🔍 Ключевая идея: Подобные фигуры сохраняют углы и пропорции сторон, что позволяет масштабировать объекты без искажения формы.

Основные понятия подобия

Коэффициент подобия (k)

Число, равное отношению сходственных сторон подобных фигур.

k = \frac{A_1B_1}{AB}

k > 1 — увеличение
k = 1 — равенство
0 < k < 1 — уменьшение

Отношение площадей

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

\frac{S_1}{S_2} = k^2

Пример: Если k = 3, то площадь увеличится в 9 раз

💡 Важно: Отношение периметров подобных фигур равно коэффициенту подобия k.

Признаки подобия треугольников

По двум углам

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

\angle A = \angle A_1

\angle B = \angle B_1

По двум сторонам и углу

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны.

\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}

\angle A = \angle A_1

По трем сторонам

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.

\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}

Теорема Фалеса

Формулировка

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

\frac{OA}{OA_1} = \frac{OB}{OB_1} = \frac{AB}{A_1B_1}

Следствия теоремы Фалеса

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине
Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки
Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник

Практическое применение подобия

Картография и масштабирование

Создание карт и планов местности
Масштабирование чертежей и схем
Проектирование макетов зданий
Создание уменьшенных копий объектов

Фотография и оптика

Расчет фокусных расстояний объективов
Построение перспективы в фотографии
Проекционные системы и голография
Создание оптических иллюзий

📏 Пример из жизни: Подобие используется при создании архитектурных макетов, где все размеры уменьшены, но пропорции сохранены.

Площади фигур

Площади геометрических фигур

Площадь — численная характеристика двумерной геометрической фигуры, показывающая размер ее поверхности. Измеряется в квадратных единицах.

📊 Важность: Расчет площадей необходим в строительстве, землеустройстве, дизайне и многих других областях человеческой деятельности.

Площади треугольников

Через основание и высоту

S = \frac{1}{2} a h_a

где a — основание, hₐ — высота к этому основанию

Формула Герона

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

где p — полупериметр, a, b, c — стороны

Через две стороны и угол

S = \frac{1}{2} ab\sin\gamma

где γ — угол между сторонами a и b

Для прямоугольного треугольника

S = \frac{1}{2} ab

где a и b — катеты

Площади четырехугольников

Прямоугольник

S = a \cdot b

где a и b — смежные стороны

Параллелограмм

S = a \cdot h_a

где a — основание, hₐ — высота

Ромб

S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2

где d₁ и d₂ — диагонали

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

где a и b — основания, h — высота

Площади круга и других фигур

Круг

S = \pi R^2

где R — радиус круга

Через диаметр: $S = \frac{\pi D^2}{4}$

Круговой сектор

S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}

где α — центральный угол в градусах

Правильный многоугольник

S = \frac{1}{2} P r

где P — периметр, r — радиус вписанной окружности

Эллипс

S = \pi a b

где a и b — полуоси эллипса

Практические примеры расчетов

Пример 1: Комната

Комната размером 5м × 4м

S = 5 \times 4 = 20\ м^2

Площадь пола для укладки плитки

Пример 2: Круглый бассейн

Бассейн диаметром 6 метров

S = \pi \times 3^2 \approx 28.3\ м^2

Площадь поверхности воды

📐 Совет: При расчетах всегда проверяйте единицы измерения и при необходимости переводите их в одинаковую систему.

Координатная геометрия

Координатная геометрия (Аналитическая геометрия)

Координатная геометрия объединяет алгебру и геометрию, позволяя решать геометрические задачи алгебраическими методами с помощью системы координат.

🎯 Основная идея: Каждой точке плоскости ставится в соответствие пара чисел (координаты), что позволяет описывать геометрические фигуры уравнениями.

Основные формулы координатной геометрии

Расстояние между двумя точками

AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Теорема Пифагора в координатной форме

Координаты середины отрезка

x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2}

Среднее арифметическое координат концов

Деление отрезка в данном отношении

x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \quad y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}

где λ = AC/CB

Площадь треугольника

S = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|

S = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|

Формула через координаты вершин

Уравнения прямых

Угловой коэффициент

y = kx + b

k - угловой коэффициент, b - свободный член

Общее уравнение

Ax + By + C = 0

A, B, C - коэффициенты

Через две точки

\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}

📐 Угловой коэффициент: k = tg(α), где α - угол наклона прямой к оси OX. Если k > 0 - прямая возрастает, k < 0 - убывает, k = 0 - горизонтальна.

Взаимное расположение прямых

Параллельность

k_1 = k_2

Угловые коэффициенты равны

Перпендикулярность

k_1 \cdot k_2 = -1

Произведение угловых коэффициентов равно -1

Угол между прямыми

\tg\varphi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2}\right|

Уравнения окружностей и кривых

Окружность

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2

(x₀, y₀) - центр, R - радиус

Эллипс

\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1

a, b - полуоси эллипса

Гипербола

\frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1

Парабола

y = ax^2 + bx + c

или (y - y₀)² = 2p(x - x₀)

Практическое применение

Компьютерная графика

Построение и преобразование графиков
Определение пересечений объектов
Расчет расстояний между элементами
Алгоритмы рендеринга

Инженерия и физика

Траектории движения тел
Расчет напряжений в конструкциях
Моделирование физических процессов
Системы навигации и GPS

Углубленная планиметрия

Продвинутые теоремы и концепции планиметрии, которые используются для решения сложных геометрических задач и олимпиадных проблем.

🏆 Особенность: Эти теоремы требуют глубокого понимания геометрии и часто используются в математических олимпиадах высшего уровня.

Теоремы о треугольниках

Теорема Менелая

Для треугольника ABC и прямой, пересекающей стороны AB, BC и CA (или их продолжения) в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно:

\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1

Обратная теорема: Если выполняется соотношение, то точки лежат на одной прямой.

Теорема Чевы

Для треугольника ABC и точек A₁, B₁, C₁ на сторонах BC, CA и AB соответственно, прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:

\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1

Теорема Стюарта

Для треугольника ABC и точки D на стороне BC:

AB^2 \cdot DC + AC^2 \cdot BD - AD^2 \cdot BC = BC \cdot BD \cdot DC

AB^2 \cdot DC + AC^2 \cdot BD - AD^2 \cdot BC = BC \cdot BD \cdot DC

Теорема Штейнера-Лемуса

Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник равнобедренный.

Теоремы об окружностях

Теорема Птолемея

Для вписанного четырёхугольника сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин диагоналей:

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Теорема о бабочке

Через середину хорды AB окружности проведены две хорды CD и EF. Если CF и DE пересекают AB в точках M и N, то точка O - середина MN.

Лемма Архимеда (касательная и секущая)

Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению длин всей секущей на ее внешнюю часть:

AB^2 = AC \cdot AD

Специальные теоремы

Теорема Ван-Обеля

Если чевианы AA₁, BB₁, CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке P, то:

\frac{AP}{PA_1} = \frac{AB_1}{B_1C} + \frac{AC_1}{C_1B}

Теорема Морлея

Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.

Теорема Нагеля

Отрезки, соединяющие вершины с точками касания противоположных сторон с вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке.

Теорема Эйлера

Расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей:

OI^2 = R^2 - 2Rr

Применение в олимпиадных задачах

Стратегии решения сложных задач

Когда применять теорему Менелая:

Задачи на коллинеарность точек
Доказательство принадлежности точек одной прямой
Задачи с трансверсалями

Когда применять теорему Чевы:

Доказательство конкурентности прямых
Задачи на точку пересечения медиан, биссектрис, высот
Поиск специальных точек треугольника

Когда применять теорему Птолемея:

Задачи на вписанные четырехугольники
Вычисление длин диагоналей
Доказательство соотношений в окружностях

Комбинированные методы:

Использование нескольких теорем одновременно
Построение вспомогательных элементов
Применение преобразований

Историческая справка

Древние математики

Птолемей (100-170 н.э.) - александрийский астроном и математик
Архимед (287-212 до н.э.) - великий греческий математик
Менелай (70-140 н.э.) - греческий математик и астроном

Современные математики

Джованни Чева (1647-1734) - итальянский математик
Франк Морли (1860-1937) - английский математик
Кристиан фон Штейнер (1796-1863) - швейцарский математик