Степени и логарифмы

Свойства степеней и их применение

Понятие степени

Степень — это выражение вида an, где a — основание степени, n — показатель степени. Степень представляет собой сокращённую запись умножения одинаковых множителей.

an=a⋅a⋅…⋅a⏟n раз a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text{ раз}}

Историческая справка: Современное обозначение степеней ввёл французский математик Рене Декарт в XVII веке. До этого использовались словесные описания или громоздкие обозначения.

Область допустимых значений (ОДЗ)

Натуральный показатель

При натуральном n (n ∈ N):

a ∈ ℝ (любое действительное число)

Целый отрицательный показатель

При целом отрицательном n:

a ≠ 0 (основание не может быть нулём)

Дробный показатель

При дробном n = p/q:

q нечётное

a ∈ ℝ

q чётное

a ≥ 0

Нулевой показатель

При нулевой степени:

a ≠ 0 (00 не определена)

Основные свойства степеней

Умножение степеней

am⋅an=am+n a^m \cdot a^n = a^{m + n}

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.

Пример: 23 · 25 = 28 = 256

Деление степеней

aman=am−n \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются.

Пример: 37 ÷ 34 = 33 = 27

Степень степени

(am)n=am⋅n (a^m)^n = a^{m \cdot n}

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Пример: (52)3 = 56 = 15625

Степень произведения

(ab)n=an⋅bn (ab)^n = a^n \cdot b^n

Степень произведения равна произведению степеней множителей.

Пример: (2·3)4 = 24·34 = 16·81 = 1296

Степень дроби

(ab)n=anbn \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

Степень дроби равна дроби от степеней числителя и знаменателя.

Пример: (2/3)3 = 23/33 = 8/27

Отрицательная степень

a−n=1an a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Отрицательная степень означает обратное число.

Пример: 2-3 = 1/23 = 1/8

Нулевая степень

a0=1 a^0 = 1

Любое число в нулевой степени равно единице (кроме нуля).

Пример: 50 = 1, (-3)0 = 1

Дробная степень

a1/n=an a^{1/n} = \sqrt[n]{a}

Дробная степень означает корень.

Пример: 81/3 = ∛8 = 2

Дополнительные свойства и формулы

Общая формула дробной степени

am/n=amn=(an)m a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m

Пример: 82/3 = (∛8)2 = 22 = 4

Сравнение степеней

При сравнении степеней:

  • Если a > 1, то больше та степень, у которой больше показатель
  • Если 0 < a < 1, то больше та степень, у которой меньше показатель

Практическое применение степеней

В науке и технике

  • Научная нотация — запись очень больших или очень малых чисел (6.02·1023)
  • Физические формулы — закон всемирного тяготения, кинетическая энергия
  • Компьютерные науки — бинарная система счисления (степени двойки)
  • Химия — расчет pH (логарифмическая шкала на основе степеней)
  • Экономика — расчет сложных процентов и рост инвестиций

В повседневной жизни

  • Вычисление площадей и объемов — квадратные и кубические единицы измерения
  • Шкала Рихтера — измерение силы землетрясений (логарифмическая шкала)
  • Музыка — построение музыкальных интервалов и гамм
  • Фотография — диафрагменные числа (степени √2)
  • Кулинария — изменение пропорций при увеличении/уменьшении рецепта

Интересные факты о степенях

Самые большие числа

В математике существуют специальные обозначения для очень больших степеней, например, гугол — 10100 (1 со 100 нулями) и гуголплекс — 10гугол. Эти числа настолько велики, что их невозможно записать в обычной десятичной форме.

Степени двойки

Степени двойки имеют особое значение в компьютерной науке. 210 = 1024 ≈ 1000, что лежит в основе приставки "кило-" в информатике (1 килобайт = 1024 байта). Также степени двойки определяют максимальные значения переменных в программировании.

Свойства логарифмов и их применение

Понятие логарифма

Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b. Логарифмы были изобретены шотландским математиком Джоном Непером в 1614 году для упрощения сложных вычислений.

log⁡ab=c⇔ac=b \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b

Исторический факт: До появления калькуляторов логарифмические линейки и таблицы логарифмов были основными вычислительными инструментами ученых, инженеров и мореплавателей.

Область допустимых значений (ОДЗ)

a > 0

Основание должно быть положительным

a ≠ 1

Основание не может быть равно 1

b > 0

Число под логарифмом должно быть положительным

Почему такие ограничения? Отрицательные основания и основание 1 приводят к неоднозначности, а логарифм отрицательного числа не определен в действительных числах.

Основные свойства логарифмов

Основное логарифмическое тождество

alog⁡ab=b a^{\log_a b} = b

Это тождество непосредственно следует из определения логарифма.

Пример: 2log₂8 = 8

Логарифм единицы

log⁡a1=0 \log_a 1 = 0

Любое число в нулевой степени равно 1, поэтому логарифм 1 по любому основанию равен 0.

Пример: log₅1 = 0

Логарифм основания

log⁡aa=1 \log_a a = 1

Основание в первой степени равно самому себе.

Пример: log₇7 = 1

Логарифм произведения

log⁡a(x⋅y)=log⁡ax+log⁡ay \log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y

Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.

Пример: log₂(4·8) = log₂4 + log₂8 = 2 + 3 = 5

Логарифм частного

log⁡a(xy)=log⁡ax−log⁡ay \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Пример: log₅(125/25) = log₅125 - log₅25 = 3 - 2 = 1

Логарифм степени

log⁡axp=p⋅log⁡ax \log_a x^p = p \cdot \log_a x

Показатель степени можно вынести перед логарифмом.

Пример: log₁₀1000² = 2·log₁₀1000 = 2·3 = 6

Основание в степени

log⁡apx=1p⋅log⁡ax \log_{a^p} x = \frac{1}{p} \cdot \log_a x

Если основание логарифма возведено в степень, ее можно вынести как обратную величину.

Пример: log₈2 = log₂₃2 = ⅓·log₂2 = ⅓

Переход к новому основанию

log⁡ab=log⁡cblog⁡ca \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Позволяет вычислять логарифмы с любым основанием через логарифмы с другим основанием.

Пример: log₃7 = log₁₀7 / log₁₀3 ≈ 0.845 / 0.477 ≈ 1.771

Обращение логарифмов

log⁡ab=1log⁡ba \log_a b = \frac{1}{\log_b a}

Логарифмы с взаимно обратными основаниями являются обратными величинами.

Пример: log₂8 = 3 и log₈2 = ⅓

Замена основания

alog⁡bc=clog⁡ba a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

Полезное тождество для упрощения сложных выражений со степенями и логарифмами.

Пример: 4log₂9 = 9log₂4 = 9² = 81

Особые виды логарифмов

Десятичный логарифм

log⁡10x=lg⁡x \log_{10} x = \lg x

Основание 10. Широко используется в науке и технике.

Натуральный логарифм

log⁡ex=ln⁡x \log_e x = \ln x

Основание e ≈ 2.718. Имеет важное значение в высшей математике.

Двоичный логарифм

log⁡2x=lb⁡x \log_2 x = \operatorname{lb} x

Основание 2. Используется в информатике и теории информации.

Практическое применение логарифмов

В науке и технике

  • Шкала Рихтера — измерение силы землетрясений (логарифмическая шкапа)
  • Шкала pH — измерение кислотности растворов
  • Астрономия — шкала звездных величин для измерения яркости звезд
  • Теория информации — измерение информации (биты, байты)
  • Финансы — расчет сложных процентов и времени удвоения инвестиций

В повседневной жизни

  • Музыка — логарифмическая зависимость между частотой нот
  • Фотография — диафрагменные числа и выдержка
  • Психология — закон Вебера-Фехнера о восприятии интенсивности стимулов
  • Эпидемиология — анализ экспоненциального роста заболеваний
  • Акустика — измерение громкости звука в децибелах

Интересные факты о логарифмах

Логарифмические спирали в природе

Многие природные формы, такие как раковины наутилуса, семена подсолнуха и галактические рукава, следуют логарифмическим спиралям. Эта форма позволяет сохранять постоянный угол роста.

Логарифмы и вычислительная техника

До появления электронных калькуляторов логарифмические линейки были основным инструментом инженеров и ученых. Апполон-11, доставивший людей на Луну, использовал вычисления на логарифмических линейках.