Линейные уравнения

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение первой степени, которое можно записать в стандартной форме $ax + b = 0$ , где $a$ и $b$ — действительные числа, причем $a \neq 0$ .

Особенности: Линейные уравнения имеют ровно одно решение и их графиком является прямая линия на координатной плоскости.

Общий вид и метод решения

Стандартная форма

ax + b = 0

где:

$a$ — коэффициент при переменной ( $a \neq 0$ )
$b$ — свободный член
$x$ — неизвестная переменная

Формула решения

x = -\frac{b}{a}

Алгоритм решения:

Перенести свободные члены в правую часть
Разделить обе части на коэффициент при x
Записать ответ

Важно: Если $a = 0$ , уравнение перестает быть линейным. При $a = 0$ и $b = 0$ — бесконечно много решений, при $a = 0$ и $b \neq 0$ — решений нет.

Примеры решения линейных уравнений

1Простое линейное уравнение

Решить уравнение: $3x - 6 = 0$

Шаг 1:

3x = 6

(переносим -6 в правую часть)

Шаг 2:

x = \frac{6}{3}

(делим на коэффициент 3)

Ответ:

x = 2

2Уравнение со скобками

Решить уравнение: $2(x + 3) = 5x - 4$

Шаг 1:

2x + 6 = 5x - 4

(раскрываем скобки)

Шаг 2:

2x - 5x = -4 - 6

(группируем подобные члены)

Шаг 3:

-3x = -10

Шаг 4:

x = \frac{-10}{-3} = \frac{10}{3}

Ответ:

x = \frac{10}{3}

3Уравнение с дробями

Решить уравнение: $\frac{x}{2} + \frac{2x}{3} = 7$

Шаг 1:

\frac{3x + 4x}{6} = 7

(приводим к общему знаменателю)

Шаг 2:

\frac{7x}{6} = 7

Шаг 3:

7x = 42

(умножаем на 6)

Шаг 4:

x = 6

Ответ:

x = 6

Особые случаи линейных уравнений

Нет решений

0 \cdot x + b = 0, \quad b \neq 0

Пример: $0 \cdot x + 5 = 0$ → $5 = 0$ — ложное утверждение

Уравнение не имеет решений

Бесконечно много решений

0 \cdot x + 0 = 0

Пример: $0 \cdot x + 0 = 0$ → $0 = 0$ — тождественно истинное утверждение

Любое число является решением

Практическое применение линейных уравнений

Задачи на движение

Найдите время встречи двух объектов:

Первый объект: скорость $v_1$ , расстояние $S$

Второй объект: скорость $v_2$

Уравнение: $v_1t + v_2t = S$

Экономические задачи

Найдите точку безубыточности:

Доход: $R = p \cdot x$

Расходы: $C = f + v \cdot x$

Уравнение: $p \cdot x = f + v \cdot x$

Совет: При решении задач всегда проверяйте ответ подстановкой в исходное уравнение — это поможет избежать ошибок.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение второй степени вида $ax^2 + bx + c = 0$ , где $a \neq 0$ . Графиком квадратичной функции является парабола.

Особенности: Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один корень (кратный) или не иметь действительных корней в зависимости от дискриминанта.

Решение через дискриминант

Общий вид уравнения

ax^2 + bx + c = 0

где:

$a$ — старший коэффициент ( $a \neq 0$ )
$b$ — второй коэффициент
$c$ — свободный член

Дискриминант

D = b^2 - 4ac

Формула корней:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Запомните: Дискриминант определяет количество и характер корней уравнения.

Анализ дискриминанта

D > 0

Два различных корня

x_1 \neq x_2

График пересекает ось OX в двух точках

D = 0

Один корень (кратный)

x_1 = x_2

График касается оси OX

D < 0

Нет действительных корней

x \in \varnothing

График не пересекает ось OX

Примеры решения через дискриминант

1Два различных корня (D > 0)

Решить уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$

Шаг 1:

a = 1, b = -5, c = 6

Шаг 2:

D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1

Шаг 3:

x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3

Шаг 4:

x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2

Ответ:

x_1 = 3, x_2 = 2

2Один корень (D = 0)

Решить уравнение: $x^2 - 6x + 9 = 0$

Шаг 1:

a = 1, b = -6, c = 9

Шаг 2:

D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0

Шаг 3:

x = \frac{6}{2} = 3

Ответ:

x = 3

3Нет действительных корней (D < 0)

Решить уравнение: $x^2 + 2x + 5 = 0$

Шаг 1:

a = 1, b = 2, c = 5

Шаг 2:

D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16

Шаг 3:

\sqrt{D} = \sqrt{-16}

— не является действительным числом

Ответ:Действительных корней нет

Теорема Виета

Для приведенного уравнения

x^2 + px + q = 0

x_1 + x_2 = -p

x_1 \cdot x_2 = q

Для общего уравнения

ax^2 + bx + c = 0

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

✻Пример использования теоремы Виета

Решить уравнение: $x^2 - 7x + 10 = 0$

По теореме Виета:

x_1 + x_2 = 7

x_1 \cdot x_2 = 10

Подбираем числа:

2 + 5 = 7

2 \cdot 5 = 10

Ответ:

x_1 = 2, x_2 = 5

Дополнительные методы решения

Выделение полного квадрата

Метод для уравнений вида:

x^2 + px + q = 0

Преобразуем к виду: $(x + \frac{p}{2})^2 = \frac{p^2}{4} - q$

Разложение на множители

Метод для уравнений вида:

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Если удается угадать корни

Практическое применение квадратных уравнений

Физические задачи

Движение тела под углом к горизонту
Расчет времени падения
Оптические задачи (фокусные расстояния)
Электрические цепи

Геометрические задачи

Нахождение сторон прямоугольника по площади и периметру
Задачи на подобие треугольников
Расчет объемов и площадей
Оптимизационные задачи

Совет: При решении квадратных уравнений всегда анализируйте дискриминант перед нахождением корней — это сэкономит время и поможет избежать ошибок.

Кубические уравнения

Кубическое уравнение — это уравнение третьей степени вида $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ , где $a \neq 0$ . В отличие от квадратных уравнений, кубические всегда имеют хотя бы один действительный корень.

Особенности: Кубическое уравнение может иметь один или три действительных корня. График кубической функции всегда пересекает ось OX хотя бы в одной точке.

Общий вид и основная теорема

Стандартная форма

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

где:

$a$ — старший коэффициент ( $a \neq 0$ )
$b, c$ — коэффициенты при степенях
$d$ — свободный член

Основная теорема алгебры

n = 3

Кубическое уравнение имеет:

3 корня в комплексной области
1 или 3 действительных корня
Кратные корни учитываются с кратностью

Теорема Виета для кубического уравнения: $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$ , $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$ , $x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

1Метод разложения на множители

Общий подход

Если удается найти один корень $x_1$ , то уравнение можно представить в виде:

(x - x_1)(Ax^2 + Bx + C) = 0

Затем решаем квадратное уравнение $Ax^2 + Bx + C = 0$

✻Пример: разложение на множители

Решить уравнение: $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$

Шаг 1:

(x^3 - 3x^2) - (x - 3) = 0

(группируем)

Шаг 2:

x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0

(выносим общие множители)

Шаг 3:

(x - 3)(x^2 - 1) = 0

Шаг 4:

(x - 3)(x - 1)(x + 1) = 0

(разность квадратов)

Корни:

x_1 = 3, x_2 = 1, x_3 = -1

2Формула Кардано

Общий случай

Для уравнения вида $x^3 + px + q = 0$ (приведенная форма):

x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}

x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}

Любое кубическое уравнение можно привести к этому виду заменой переменной.

✻Пример: формула Кардано

Решить уравнение: $x^3 - 3x + 2 = 0$

Шаг 1:

p = -3, q = 2

(коэффициенты)

Шаг 2:

\left(\frac{q}{2}\right)^2 = 1

\left(\frac{p}{3}\right)^3 = -1

Шаг 3:

x = \sqrt[3]{-1 + \sqrt{1 - 1}} + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{1 - 1}}

Шаг 4:

x = \sqrt[3]{-1} + \sqrt[3]{-1} = -1 - 1 = -2

Все корни:

x_1 = -2, x_2 = 1

(двойной корень)

3Тригонометрический метод (Формула Виета)

Для случая трех действительных корней

Когда дискриминант формулы Кардано отрицателен (три действительных корня):

x_k = 2\sqrt{-\frac{p}{3}} \cdot \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{-\frac{3}{p}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right)

x_k = 2\sqrt{-\frac{p}{3}} \cdot \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{-\frac{3}{p}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right)

где $k = 0, 1, 2$ — дает три различных корня.

Специальные случаи кубических уравнений

Неполное кубическое уравнение

ax^3 + bx^2 = 0

Решение: $x^2(ax + b) = 0$ → $x_1 = x_2 = 0, x_3 = -\frac{b}{a}$

Симметричное уравнение

ax^3 + bx^2 + bx + a = 0

Решение: группировка $(x^3 + 1) + b(x^2 + x) = 0$

Возвратное уравнение

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

где $\frac{a}{d} = \frac{b}{c}$ . Решается заменой $y = x + \frac{1}{x}$

Уравнение с рациональным корнем

Если коэффициенты целые, можно искать корни среди делителей свободного члена.

Графическая интерпретация

Три корня

График пересекает ось OX в трех точках

Два корня

Один простой и один кратный корень

Один корень

Один действительный и два комплексных

Практическое применение кубических уравнений

Физика и инженерия

Расчет объемов и плотностей
Задачи термодинамики (уравнение состояния)
Оптические системы третьего порядка
Механика деформируемых тел

Экономика и статистика

Кубические тренды в анализе данных
Оптимизационные задачи третьей степени
Модели роста с насыщением
Аппроксимация нелинейных зависимостей

Совет: Начинайте решение кубических уравнений с поиска очевидных корней (делители свободного члена) — это часто позволяет избежать сложных вычислений по формуле Кардано.

Рациональные уравнения

Рациональное уравнение — это уравнение, содержащее рациональные выражения (дроби с переменными в знаменателе). Решение таких уравнений требует особого внимания к области определения.

Важно: При решении рациональных уравнений необходимо проверять, чтобы найденные корни не обращали знаменатель в ноль.

Основные понятия и определения

Область определения (ОДЗ)

Множество значений переменной, при которых все знаменатели отличны от нуля.

\text{ОДЗ}: \text{знаменатели} \neq 0

Общий знаменатель

Наименьшее общее кратное всех знаменателей в уравнении.

\text{НОК}(\text{знаменателей})

Запомните: Корни, обращающие знаменатель в ноль, называются посторонними корнями и должны быть исключены из ответа.

1Алгоритм решения рациональных уравнений

Найти область определения (ОДЗ)
Определить значения переменной, при которых знаменатели ≠ 0
Найти общий знаменатель
Найти НОК всех знаменателей в уравнении
Умножить на общий знаменатель
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель
Решить полученное уравнение
Решить уравнение без дробей (линейное, квадратное и т.д.)
Проверить корни по ОДЗ
Исключить корни, не входящие в область определения

✻Подробный пример решения

Решить уравнение:

\frac{x}{x-2} + \frac{1}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}

Шаг 1: Находим ОДЗ

x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2

x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2

x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$

Шаг 2: Находим общий знаменатель

x^2 - 4 = (x-2)(x+2)

Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)$

Шаг 3: Умножаем на общий знаменатель

(x-2)(x+2) \cdot \left(\frac{x}{x-2} + \frac{1}{x+2}\right) = (x-2)(x+2) \cdot \frac{8}{x^2-4}

(x-2)(x+2) \cdot \left(\frac{x}{x-2} + \frac{1}{x+2}\right) = (x-2)(x+2) \cdot \frac{8}{x^2-4}

x(x+2) + 1(x-2) = 8

Шаг 4: Решаем полученное уравнение

x^2 + 2x + x - 2 = 8

x^2 + 3x - 10 = 0

D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49

D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49

x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}

x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2,\quad x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5

Шаг 5: Проверяем корни по ОДЗ

x_1 = 2

— не входит в ОДЗ (знаменатель обращается в 0)

x_2 = -5

— входит в ОДЗ

Ответ:

x = -5

Дополнительные примеры

Пример 2: Уравнение с тремя дробями

Решить уравнение: $\frac{2}{x-1} - \frac{3}{x+1} = \frac{6}{x^2-1}$

ОДЗ:

x \neq \pm 1

Общий знаменатель:

(x-1)(x+1)

2(x+1) - 3(x-1) = 6

2x + 2 - 3x + 3 = 6

-x + 5 = 6

-x = 1

x = -1

— не входит в ОДЗ

Ответ: корней нет

Пример 3: Уравнение с числителями-многочленами

Решить уравнение: $\frac{x^2-1}{x+2} = \frac{3}{x+2}$

ОДЗ:

x \neq -2

Умножаем на знаменатель:

x^2 - 1 = 3

x^2 = 4

x = \pm 2

Исключаем

x = -2

(не входит в ОДЗ)

Ответ:

x = 2

Особые случаи и предупреждения

Распространенные ошибки

Забывают найти ОДЗ
Не проверяют корни на принадлежность ОДЗ
Неправильно находят общий знаменатель
Сокращают дроби до умножения на общий знаменатель

Полезные советы

Всегда начинайте с нахождения ОДЗ
Разложите знаменатели на множители
Проверяйте каждый корень подстановкой в исходное уравнение
Внимательно выполняйте алгебраические преобразования

Практическое применение рациональных уравнений

Задачи на работу и производительность

Двое рабочих выполняют работу за разное время:

\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{T}

Задачи на движение по воде

Скорость по течению и против течения:

\frac{S}{v+v_r} + \frac{S}{v-v_r} = T

Экономические задачи

Расчет себестоимости, рентабельности

Физические задачи

Расчет сопротивления в параллельных цепях

Совет: При решении прикладных задач всегда анализируйте, имеют ли полученные корни физический смысл в контексте задачи.

Иррациональные уравнения

Иррациональное уравнение — уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня. Решение таких уравнений требует особого подхода и проверки полученных корней, так как возведение в степень может приводить к появлению посторонних решений.

🔍 Особенность: При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ), так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны обращаться в ноль.

Методы решения

Возведение в степень

Замена переменной

Уединение корня

Графический метод

Корни четной и нечетной степени: сравнение

Корни четной степени √²ⁿf(x)

ОДЗ: $f(x) \geq 0$
Результат всегда неотрицательный
Возведение в квадрат может дать посторонние корни
Требуется обязательная проверка
Пример: $\sqrt{x}, \sqrt[4]{x-1}$

√²ⁿ⁺¹f(x)

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$ (все действительные числа)
Результат может быть любым действительным числом
Возведение в степень равносильно
Проверка обычно не требуется
Пример: $\sqrt[3]{x}, \sqrt[5]{x+2}$

💡 Запомните: Для корней нечетной степени $\sqrt[2n+1]{f(x)} = g(x)$ равносильно $f(x) = [g(x)]^{2n+1}$ без дополнительных условий!

Область допустимых значений (ОДЗ)

📋 Правила нахождения ОДЗ:

$\sqrt[2n]{f(x)} существует ⇔ $f(x) \geq 0$
$\sqrt[2n+1]{f(x)}$ существует для всех $x \in \mathbb{R}$
Знаменатели дробей ≠ 0
Выражения под логарифмами > 0
Основания логарифмов > 0 и ≠ 1

📝 Пример нахождения ОДЗ:

Для уравнения $\sqrt{2x-3} = 5$ :

2x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1.5

ОДЗ: $x \in [1.5, +\infty)$

📝 Сложный пример ОДЗ:

Для уравнения $\sqrt{x-1} + \frac{1}{\sqrt{4-x}} = 2$ :

x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1

4-x > 0 \Rightarrow x < 4

ОДЗ: $x \in [1, 4)$

1Метод возведения в степень

📋 Алгоритм решения:

Найти ОДЗ уравнения
Уединить корень (если их несколько)
Возвести обе части в соответствующую степень
Решить полученное уравнение
Проверить корни по ОДЗ и подстановкой
Записать ответ

✅ Пример 1: Простой случай

Решить: $\sqrt{2x + 3} = 5$

ОДЗ:

2x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1.5

Возводим:

2x + 3 = 25

Решаем:

x = 11

Проверка:

\sqrt{25} = 5

✓

Ответ:

x = 11

⚠️ Пример 2: С ограничением

Решить: $\sqrt{x + 1} = x - 1$

ОДЗ:

x \geq 1

(так как

x - 1 \geq 0

)

Возводим:

x + 1 = (x - 1)^2

Решаем:

x_1 = 0, x_2 = 3

Проверка:

x = 0

∉ ОДЗ,

x = 3

✓

Ответ:

x = 3

2Метод замены переменной

🔄 Когда применять:

Уравнения вида $a\sqrt{f(x)} + b\sqrt{f(x)} + c = 0$
Уравнения с повторяющимися радикалами
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Сложные композиции корней

📝 Пример замены переменной

Решить: $x - 3\sqrt{x} + 2 = 0$

ОДЗ:

x \geq 0

Замена:

t = \sqrt{x} \geq 0

Уравнение:

t^2 - 3t + 2 = 0

Корни:

t_1 = 1, t_2 = 2

Обратная замена:

x_1 = 1, x_2 = 4

Ответ:

x_1 = 1, x_2 = 4

3Уравнения с кубическими корнями

Особенность: Для кубических корней ОДЗ не ограничивается, и возведение в куб является равносильным преобразованием.

📝 Пример с кубическим корнем

Решить: $\sqrt[3]{2x - 5} = 3$

ОДЗ:

x \in \mathbb{R}

(нет ограничений)

Возводим в куб:

2x - 5 = 27

Решаем:

x = 16

Проверка:

\sqrt[3]{27} = 3

✓

Ответ:

x = 16

4Графический метод решения

📊 Суть метода:

Представить уравнение в виде $f(x) = g(x)$ и найти точки пересечения графиков. Особенно полезно для сложных уравнений.

🎯 Преимущества:

Наглядность
Определение количества решений
Приближенное нахождение корней

🚨 Шпаргалка по проверке решений

✅ Что проверять:

Принадлежность ОДЗ
Подстановку в исходное уравнение
Знаки обеих частей уравнения
Особые условия (например, $g(x) \geq 0$ )

❌ Частые ошибки:

Забывают проверить ОДЗ
Не делают подстановку
Путают корни четной/нечетной степени
Неправильно возводят в степень

📚 Практические задания

Задание 1:

\sqrt{3x + 7} = 4

Задание 2:

\sqrt{x + 5} = x - 1

Задание 3:

\sqrt[3]{2x - 1} = 2

Задание 4:

\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 2} = 1

Показательные уравнения

Показательное уравнение — уравнение, в котором неизвестная величина содержится в показателе степени. Основная форма: $a^{f(x)} = b$ , где $a > 0$ , $a \neq 1$ .

🔍 Особенность: Показательная функция всегда положительна, поэтому уравнение $a^{f(x)} = b$ имеет решение только при $b > 0$ .

Методы решения

Приведение к одному основанию

Замена переменной

Логарифмирование

Графический метод

Свойства показательной функции

Основные свойства

$a^x > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$
$a^0 = 1$ , $a^1 = a$
$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$
$a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y}$
$(a^x)^y = a^{xy}$

Важные тождества

$a^{-x} = \frac{1}{a^x}$
$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$
$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
$a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a b$

💡 Запомните: Показательная функция $y = a^x$ является монотонной: возрастает при $a > 1$ и убывает при $0 < a < 1$ .

1Приведение к одинаковому основанию

📋 Алгоритм решения:

Представить обе части уравнения как степени с одинаковым основанием
Использовать свойство: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$
Решить полученное уравнение
Записать ответ

📝 Пример 1: Простой случай

Решить уравнение: $2^{x+3} = 4^{x-1}$

Шаг 1: Приводим к основанию 2:

2^{x+3} = (2^2)^{x-1} = 2^{2x-2}

Шаг 2: Приравниваем показатели:

x + 3 = 2x - 2

Шаг 3: Решаем линейное уравнение:

x - 2x = -2 - 3

-x = -5

x = 5

✓ Проверка:

2^{8} = 4^{4} = 256

Ответ:

x = 5

2Введение новой переменной

🔄 Когда применять:

Уравнения вида $a \cdot b^{2x} + c \cdot b^x + d = 0$
Уравнения с повторяющейся показательной функцией
Уравнения, сводящиеся к квадратным

📝 Пример замены переменной

Решить: $4^x - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$

Шаг 1: Замена переменной:

t = 2^x > 0

, тогда

4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = t^2

Шаг 2: Подставляем в уравнение:

t^2 - 5t + 6 = 0

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

t_1 = 2, t_2 = 3

(оба положительны)

Шаг 4: Обратная замена:

2^x = 2 \Rightarrow x = 1

2^x = 3 \Rightarrow x = \log_2 3

✓ Проверка: Оба корня удовлетворяют условию

t > 0

Ответ:

x_1 = 1, x_2 = \log_2 3

3Метод логарифмирования

📐 Когда применять:

Когда нельзя привести к одинаковому основанию
Уравнения вида $a^{f(x)} = b^{g(x)}$
Когда основания разные и несводимые

📝 Пример логарифмирования

Решить: $3^x = 5$

Шаг 1: Логарифмируем обе части (можно по любому основанию):

\log(3^x) = \log 5

Шаг 2: Используем свойство логарифма:

x \cdot \log 3 = \log 5

Шаг 3: Выражаем x:

x = \frac{\log 5}{\log 3} = \log_3 5

Ответ:

x = \log_3 5

🚨 Особые случаи и предупреждения

❌ Нет решений

$a^{f(x)} = 0$ — не имеет решений
$a^{f(x)} = -b$ (где $b > 0$ ) — не имеет решений
$1^{f(x)} = b$ (где $b \neq 1$ ) — не имеет решений

⚠️ Особые основания

$1^{f(x)} = 1$ — верно для всех x из ОДЗ
$(-a)^{f(x)}$ — требует осторожности (определен не всегда)
$0^{f(x)}$ — определен только при $f(x) > 0$

📚 Практические задания

Задание 1:

2^{x-1} = 8

Подсказка: приведите к основанию 2

Задание 2:

3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 = 0

Подсказка: используйте замену переменной

Задание 3:

5^{x+2} = 7

Подсказка: примените логарифмирование

Задание 4:

2^{x+1} + 2^{x-1} = 20

Подсказка: вынесите общий множитель

Логарифмические уравнения

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком логарифма или в его основании. Решение таких уравнений требует учета области определения и свойств логарифмических функций.

Историческая справка: Логарифмы были изобретены шотландским математиком Джоном Непером в 1614 году. Термин "логарифм" происходит от греческих слов "logos" (отношение) и "arithmos" (число).

Область определения (ОДЗ)

Перед решением логарифмического уравнения необходимо найти его область определения — множество значений переменной, при которых логарифмические выражения имеют смысл.

Основные ограничения:

Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $f(x) > 0$
Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1: $a > 0, a \neq 1$
Если основание содержит переменную, необходимо рассматривать дополнительные ограничения

Пример нахождения ОДЗ:

Для уравнения $\log_2 (x-3) = 4$ находим ОДЗ:

x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3

Таким образом, ОДЗ: $x \in (3, +\infty)$

Решение по определению логарифма

Алгоритм решения:

Найти ОДЗ уравнения
Использовать определение логарифма: $\log_a f(x) = b \Leftrightarrow f(x) = a^b$
Решить полученное уравнение
Проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ
Записать ответ

Пример 1:

Решить уравнение: $\log_2 (x + 3) = 4$

1. ОДЗ:

x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3

2. По определению логарифма:

x + 3 = 2^4

3. Решаем:

x + 3 = 16 \Rightarrow x = 13

4. Проверка ОДЗ:

13 > -3

— условие выполняется

5. Проверка подстановкой:

\log_2 (13 + 3) = \log_2 16 = 4

— верно

6. Ответ:

x = 13

Метод потенцирования

Потенцирование — переход от уравнения с логарифмами к уравнению без логарифмов. Применяется когда логарифмы имеют одинаковые основания.

Условие потенцирования:

Уравнение вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно системе:

\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}

Пример:

Решить уравнение: $\log_3 (x^2 - 1) = \log_3 (x + 5)$

1. ОДЗ:

x^2 - 1 > 0

x + 5 > 0

x^2 > 1 \Rightarrow x < -1

или

x > 1

x > -5

Объединяя:

x \in (-5, -1) \cup (1, +\infty)

2. Потенцируем:

x^2 - 1 = x + 5

3. Решаем:

x^2 - x - 6 = 0

x_1 = 3, x_2 = -2

4. Проверка ОДЗ:

x = 3

— принадлежит ОДЗ

x = -2

— принадлежит ОДЗ (

-2 \in (-5, -1)

)

5. Ответ:

x_1 = 3, x_2 = -2

Метод замены переменной

Этот метод применяется когда уравнение содержит несколько логарифмов или сложные логарифмические выражения. Замена позволяет упростить уравнение.

Пример:

Решить уравнение: $\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 = 0$

1. ОДЗ:

x > 0

2. Замена:

t = \log_2 x

3. Подставляем:

t^2 - 3t + 2 = 0

4. Решаем квадратное уравнение:

t_1 = 1, t_2 = 2

5. Возвращаемся к x:

\log_2 x = 1 \Rightarrow x = 2^1 = 2

\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4

6. Проверка ОДЗ: Оба корня положительны

7. Ответ:

x_1 = 2, x_2 = 4

Уравнения с разными основаниями

Когда логарифмы имеют разные основания, можно использовать формулу перехода к новому основанию или привести логарифмы к одному основанию.

Пример:

Решить уравнение: $\log_2 x + \log_4 x = 3$

1. ОДЗ:

x > 0

2. Приводим к одному основанию:

\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}

3. Подставляем:

\log_2 x + \frac{\log_2 x}{2} = 3

4. Умножаем на 2:

2\log_2 x + \log_2 x = 6

5. Решаем:

3\log_2 x = 6 \Rightarrow \log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4

6. Проверка ОДЗ:

4 > 0

7. Ответ:

x = 4

Свойства логарифмов для решения уравнений

Основные свойства

$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$
$\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
$\log_a x^p = p \log_a x$
$\log_a a = 1$
$\log_a 1 = 0$

Формула перехода к новому основанию

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Частный случай:

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

Типичные ошибки и предупреждения

Потеря корней

Не учитывают ОДЗ при решении, в результате теряют допустимые корни.

Посторонние корни

Не проверяют найденные корни подстановкой в исходное уравнение.

Неправильное применение свойств

Применяют свойства логарифмов без учета ограничений на знаки выражений.

Ошибки в преобразованиях

Делают алгебраические ошибки при упрощении уравнений после потенцирования.

Практические советы по решению

Всегда начинайте с нахождения ОДЗ
Проверяйте основания логарифмов на соответствие условиям
Используйте свойства логарифмов для упрощения уравнений
При потенцировании убедитесь, что логарифмы имеют одинаковые основания
Для сложных уравнений применяйте замену переменной
Всегда проверяйте найденные корни подстановкой в исходное уравнение
Внимательно работайте с уравнениями, где основание содержит переменную

Тригонометрические уравнения

Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее тригонометрические функции от неизвестной величины. Эти уравнения широко применяются в физике, инженерии и других науках для описания периодических процессов.

🔁 Особенность: Тригонометрические уравнения имеют бесконечное множество решений due to периодичности тригонометрических функций. Решения записываются с помощью параметра $n \in \mathbb{Z}$ .

Типы тригонометрических уравнений

Простейшие

Квадратные

Однородные

С разложением

1Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение	Условие	Решение
$\sin x = a$	$\|a\| \leq 1$	$x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$
$\cos x = a$	$\|a\| \leq 1$	$x = \pm \arccos a + 2\pi n$
$\tg x = a$	$a \in \mathbb{R}$	$x = \arctan a + \pi n$
$\ctg x = a$	$a \in \mathbb{R}$	$x = \text{arccot } a + \pi n$

📝 Пример: решение уравнения sin x = a

Решить уравнение: $\sin x = \frac{1}{2}$

Шаг 1: Находим частное решение:

\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}

Шаг 2: Записываем общее решение:

x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n

Шаг 3: При n = 0:

x = \frac{\pi}{6}

, при n = 1:

x = \frac{5\pi}{6}

Ответ:

x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}

2Уравнения, сводящиеся к квадратным

🔄 Метод замены переменной

Используется, когда уравнение содержит одну тригонометрическую функцию или может быть к этому приведено.

Замена $t = \sin x$ , $t = \cos x$ и т.д.
Учитываем ограничения: $|\sin x| \leq 1$ , $|\cos x| \leq 1$
Решаем квадратное уравнение относительно t
Возвращаемся к исходной переменной

📝 Подробный пример

Решить уравнение: $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$

Шаг 1: Замена:

t = \cos x

, где

|t| \leq 1

Шаг 2: Квадратное уравнение:

2t^2 - 3t + 1 = 0

Шаг 3: Дискриминант:

D = 9 - 8 = 1

Шаг 4: Корни:

t_1 = 1

t_2 = \frac{1}{2}

Шаг 5: Возвращаемся к x:

\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k

\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k

Ответ:

x = 2\pi k, x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}

3Однородные тригонометрические уравнения

1-й степени

a\sin x + b\cos x = 0

Решение: деление на $\cos x$

2-й степени

a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0

Решение: деление на $\cos^2 x$

📝 Пример однородного уравнения 1-й степени

Решить уравнение: $\sin x + \cos x = 0$

Шаг 1: Делим на

\cos x \neq 0

Шаг 2: Получаем:

\tg x + 1 = 0

Шаг 3: Решаем:

\tg x = -1

Шаг 4: Общее решение:

x = -\frac{\pi}{4} + \pi k

Ответ:

x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}

4Уравнения, решаемые разложением на множители

🔧 Основные методы разложения:

Вынесение общего множителя
Группировка слагаемых
Использование тригонометрических тождеств
Формулы преобразования сумм в произведения

📝 Пример с разложением на множители

Решить уравнение: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$

Шаг 1: Группируем:

(\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = 0

Шаг 2: Применяем формулу:

\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

Шаг 3: Получаем:

2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 0

Шаг 4: Выносим множитель:

\sin 2x(2\cos x + 1) = 0

Шаг 5: Решаем две серии:

\sin 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi k}{2}

\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k

5Метод введения вспомогательного угла

🎯 Для уравнений вида:

a\sin x + b\cos x = c

Вспомогательный угол $\varphi$ находится из условий:

\sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}

\sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Уравнение приводится к виду:

\sin(x + \varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Особые случаи и предупреждения

🚨 Потеря решений

При делении на выражение с переменной (например, $\cos x$ ) нужно отдельно рассмотреть случай, когда это выражение равно нулю.

📏 Учет ограничений

При замене $t = \sin x$ или $t = \cos x$ необходимо учитывать, что $|t| \leq 1$ .

🔍 Проверка решений

При решении уравнений с тангенсом или котангенсом нужно проверять, чтобы найденные значения не обращали знаменатель в ноль.

🔄 Эквивалентность преобразований

При возведении в квадрат или других неэквивалентных преобразованиях необходима проверка полученных решений.

Практические советы по решению

✅ Что делать:

Начинайте с анализа типа уравнения
Используйте тригонометрические тождества
Проверяйте полученные решения
Записывайте ответ с параметром n ∈ Z

❌ Чего избегать:

Потери решений при делении
Неучета ограничений на замену
Арифметических ошибок в вычислениях
Неправильной записи ответа

Таблица основных значений тригонометрических функций

Угол	sin	cos	tg	ctg
0	0	1	0	∞
$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1	1
$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\pi}{2}$	1	0	∞	0