Задачи с параметрами в ЕГЭ по математике (задание №18)

Задачи с параметрами в профильном ЕГЭ

Задание №18 профильного ЕГЭ по математике — это задачи с параметрами, требующие глубокого понимания математических концепций и аналитического мышления.

🎯 Максимальный балл: За правильное решение можно получить 4 первичных балла.

Общая стратегия решения задач с параметрами

Алгоритм решения

1
Проанализировать условие и определить тип задачи
2
Выразить параметр через переменную или рассмотреть отдельные случаи
3
Исследовать поведение функции/уравнения при различных значениях параметра
4
Найти критические значения параметра
5
Проверить граничные случаи
6
Записать ответ с учетом всех условий

Ключевые понятия

Критические значения

Значения параметра, при которых происходит качественное изменение поведения системы

Область определения

Множество допустимых значений переменной и параметра

Граничные случаи

Предельные ситуации, требующие отдельного рассмотрения

Метод областей

Графический способ решения задач с параметрами

Линейные уравнения с параметром

Пример 1: Исследование решений линейного уравнения

При каких значениях параметра a a уравнение (a−2)x=a2−4 (a-2)x = a^2 - 4 имеет единственное решение?

Шаг 1: Анализ коэффициента при x

Уравнение  \text{Уравнение } (a−2)x=(a−2)(a+2) (a-2)x = (a-2)(a+2)
Если a−2≠0, то  \text{Если } a-2 \neq 0 \text{, то } x=(a−2)(a+2)a−2=a+2 x = \frac{(a-2)(a+2)}{a-2} = a+2

Шаг 2: Рассмотрение особого случая

Если a−2=0 \text{Если } a-2 = 0 , то уравнение принимает вид  \text{, то уравнение принимает вид }0⋅x=0 0 \cdot x = 0

Это уравнение имеет бесконечно много решений

Шаг 3: Формулировка ответа

Единственное решение при  \text{Единственное решение при } a−2≠0⇒a≠2 a-2 \neq 0 \Rightarrow a \neq 2

Ответ:

a∈(−∞,2)∪(2,+∞) a \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)

Квадратные уравнения с параметром

Пример 2: Исследование корней квадратного уравнения

При каких значениях параметра a a уравнение x2−(2a+1)x+a2+2=0 x^2 - (2a+1)x + a^2 + 2 = 0 имеет два различных корня?

Шаг 1: Условие существования двух различных корней

D>0 D > 0 D=(2a+1)2−4(a2+2) D = (2a+1)^2 - 4(a^2 + 2) D=4a2+4a+1−4a2−8 D = 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 - 8 D=4a−7 D = 4a - 7

Шаг 2: Решение неравенства

4a−7>0 4a - 7 > 0 a>74 a > \frac{7}{4}

Ответ:

a∈(74,+∞) a \in \left(\frac{7}{4}, +\infty\right)

Пример 3: Расположение корней квадратного уравнения

При каких значениях параметра a a оба корня уравнения x2−6ax+2−2a+9a2=0 x^2 - 6ax + 2 - 2a + 9a^2 = 0 больше 3?

Шаг 1: Система условий

{D≥0x1+x2>6x1⋅x2>9f(3)>0 \begin{cases} D \geq 0 \\ x_1 + x_2 > 6 \\ x_1 \cdot x_2 > 9 \\ f(3) > 0 \end{cases}

Шаг 2: Вычисление условий

D=36a2−4(2−2a+9a2)= D = 36a^2 - 4(2-2a+9a^2) = =36a2−8+8a−36a2= = 36a^2 - 8 + 8a - 36a^2 = =8a−8 = 8a - 8
D≥0⇒8a−8≥0⇒a≥1 D \geq 0 \Rightarrow 8a - 8 \geq 0 \Rightarrow a \geq 1 x1+x2=6a>6⇒a>1 x_1 + x_2 = 6a > 6 \Rightarrow a > 1 x1⋅x2=2−2a+9a2>9 x_1 \cdot x_2 = 2 - 2a + 9a^2 > 9

Шаг 3: Решение системы

{a≥1a>19a2−2a−7>0 \begin{cases} a \geq 1 \\ a > 1 \\ 9a^2 - 2a - 7 > 0 \end{cases}
9a2−2a−7>0⇒ 9a^2 - 2a - 7 > 0 \Rightarrow ⇒a∈(−∞,−79)∪(1,+∞) \Rightarrow a \in (-\infty, -\frac{7}{9}) \cup (1, +\infty)
Пересечение: a>1 \text{Пересечение: } a > 1

Ответ:

a∈(1,+∞) a \in (1, +\infty)

Системы уравнений с параметром

Пример 4: Исследование системы линейных уравнений

При каких значениях параметра a a система {ax+y=1x+ay=1 \begin{cases} ax + y = 1 \\ x + ay = 1 \end{cases} имеет единственное решение?

Шаг 1: Определитель системы

Δ=∣a11a∣=a2−1 \Delta = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = a^2 - 1

Шаг 2: Условие единственного решения

Δ≠0⇒a2−1≠0 \Delta \neq 0 \Rightarrow a^2 - 1 \neq 0 a≠±1 a \neq \pm 1

Шаг 3: Проверка особых случаев

При a=1 \text{При } a = 1

система имеет бесконечно много решений

При a=−1: система несовместна \text{При } a = -1: \text{ система несовместна}

Ответ:

a∈(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞) a \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)

Уравнения с модулем и параметром

Пример 5: Уравнение с модулем

При каких значениях параметра a a уравнение ∣x+2∣+∣x−1∣=a |x+2| + |x-1| = a имеет решения?

Шаг 1: Исследование функции

f(x)=∣x+2∣+∣x−1∣ f(x) = |x+2| + |x-1|

Найдем минимальное значение функции

Шаг 2: Определение минимума

При x∈[−2,1]: \text{При } x \in [-2, 1]: f(x)=(x+2)−(x−1)=3 f(x) = (x+2) - (x-1) = 3
При x<−2: \text{При } x < -2: f(x)=−(x+2)−(x−1)= f(x) = -(x+2) - (x-1) = =−2x−1>3 = -2x - 1 > 3
При x>1: \text{При } x > 1: f(x)=(x+2)+(x−1)= f(x) = (x+2) + (x-1) = =2x+1>3 = 2x + 1 > 3
min⁡f(x)=3 \min f(x) = 3

Шаг 3: Условие существования решений

Уравнение имеет решения при

a≥3 a \geq 3

Ответ:

a∈[3,+∞) a \in [3, +\infty)

Графический метод решения задач с параметрами

Пример 6: Исследование числа решений

При каких значениях параметра a a уравнение x2−4x+3=a x^2 - 4x + 3 = a имеет ровно два решения?

Шаг 1: Графическая интерпретация

Рассмотрим функции  \text{Рассмотрим функции } y=x2−4x+3 y = x^2 - 4x + 3  и y=a \text{ и } y = a
y=x2−4x+3=(x−1)(x−3) y = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)
Вершина параболы:  \text{Вершина параболы: } x0=2,y0=−1 x_0 = 2, \quad y_0 = -1

Шаг 2: Анализ пересечений

Два решения при y>−1 \text{Два решения при } y > -1 Одно решение при y=−1 \text{Одно решение при } y = -1 Нет решений при y<−1 \text{Нет решений при } y < -1

Ответ:

a∈(−1,+∞) a \in (-1, +\infty)

Методы исследования задач с параметрами

Аналитические методы

  • • Метод дискриминанта
  • • Теорема Виета
  • • Метод интервалов
  • • Исследование функций
  • • Метод рационализации
  • • Использование свойств функций

Геометрические методы

  • • Метод областей
  • • Координатная плоскость (x, a)
  • • Преобразования графиков
  • • Касание кривых
  • • Использование симметрии
  • • Метод сечения

Типичные ошибки при решении задач с параметрами

Логические ошибки

  • • Не рассмотрены все возможные случаи
  • • Пропущены критические значения параметра
  • • Не проверены граничные условия
  • • Не учтена область определения
  • • Неправильная интерпретация условия

Вычислительные ошибки

  • • Ошибки в преобразованиях
  • • Неправильное решение уравнений и неравенств
  • • Арифметические ошибки
  • • Потеря решений
  • • Появление посторонних решений

Практические советы по решению задач с параметрами

Планирование решения

  • • Внимательно прочитайте условие
  • • Определите тип задачи
  • • Составьте план решения
  • • Выделите критические значения параметра
  • • Рассмотрите все возможные случаи

Проверка решения

  • • Проверьте все граничные случаи
  • • Убедитесь в полноте ответа
  • • Проверьте вычисления
  • • Убедитесь, что ответ соответствует условию
  • • Запишите ответ в требуемой форме