Числа и их свойства в ЕГЭ по математике (задание №19)

Числа и их свойства в профильном ЕГЭ

Задание №19 профильного ЕГЭ по математике — это олимпиадные задачи на числа и их свойства, требующие логического мышления, знания теории чисел и комбинаторики.

🎯 Максимальный балл: За правильное решение можно получить 4 первичных балла.

Основные понятия и свойства чисел

Признаки делимости

• На 2: последняя цифра четная
• На 3: сумма цифр делится на 3
• На 4: число из последних двух цифр делится на 4
• На 5: последняя цифра 0 или 5
• На 8: число из последних трех цифр делится на 8
• На 9: сумма цифр делится на 9
• На 11: разность сумм цифр на четных и нечетных позициях делится на 11

Представление чисел

• Десятичная запись: $\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$
• Четные и нечетные: свойства сумм и произведений
• Простые числа: числа, имеющие ровно два делителя
• Взаимно простые: НОД(a,b) = 1
• Сравнения по модулю: $a \equiv b \pmod{m}$

Важные формулы

Сумма цифр

S(\overline{abc}) = a + b + c

Представление числа

\overline{abc} = 100a + 10b + c

Делимость

a \mid b \Rightarrow b = ka

НОД и НОК

\text{НОД}(a,b) \cdot \text{НОК}(a,b) = a \cdot b

Задачи на цифры и числа

Пример 1: Нахождение чисел по свойствам цифр

Найдите все трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

Шаг 1: Представление числа

\text{Пусть число }

N = \overline{abc} = 100a + 10b + c

\text{Пусть число } N = \overline{abc} = 100a + 10b + c

\text{Сумма цифр }

S = a + b + c

\text{Сумма цифр } S = a + b + c

\text{Условие: }

100a + 10b + c = 12(a + b + c)

\text{Условие: } 100a + 10b + c = 12(a + b + c)

Шаг 2: Преобразование уравнения

100a + 10b + c = 12a + 12b + 12c

88a - 2b - 11c = 0

2(44a - b) = 11c

Шаг 3: Анализ делимости

\text{Правая часть делится на 11 } \Rightarrow

\Rightarrow c \text{ должно быть четным}

\text{Правая часть делится на 11 } \Rightarrow c \text{ должно быть четным}

\text{Перебираем } c = 0, 2, 4, 6, 8

\text{Перебираем } c = 0, 2, 4, 6, 8

Шаг 4: Нахождение решений

\text{При } c = 0: 44a - b = 0 \Rightarrow

\Rightarrow b = 44a \text{ — невозможно}

\text{При } c = 0: 44a - b = 0 \Rightarrow b = 44a \text{ — невозможно}

\text{При } c = 4: 44a - b = 22 \Rightarrow

\Rightarrow \text{единственное решение } a=1,

b=22 \text{ — невозможно}

\text{При } c = 4: 44a - b = 22 \Rightarrow \text{единственное решение } a=1, b=22 \text{ — невозможно}

\text{При } c = 8: 44a - b = 44 \Rightarrow

\Rightarrow a=1, b=0 \Rightarrow N=108

\text{При } c = 8: 44a - b = 44 \Rightarrow a=1, b=0 \Rightarrow N=108

Ответ:

108

Пример 2: Числа с заданным свойством цифр

Найдите все трехзначные числа, которые уменьшаются в 7 раз при вычеркивании средней цифры.

Шаг 1: Представление чисел

\text{Пусть число }

N = \overline{abc} = 100a + 10b + c

\text{Пусть число } N = \overline{abc} = 100a + 10b + c

\text{После вычеркивания }

M = \overline{ac} = 10a + c

\text{После вычеркивания } M = \overline{ac} = 10a + c

\text{Условие: }

100a + 10b + c = 7(10a + c)

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Шаг 2: Преобразование уравнения

100a + 10b + c = 70a + 7c

30a + 10b - 6c = 0

5a + b - c = 0

c = 5a + b

Шаг 3: Перебор возможных значений

a = 1: c = 5 + b, \quad 0 \leq b \leq 9,

c \leq 9 \Rightarrow b \leq 4

a = 1: c = 5 + b, \quad 0 \leq b \leq 9, \quad c \leq 9 \Rightarrow b \leq 4

\text{Получаем числа: }

105, 116, 127, 138, 149

\text{Получаем числа: } 105, 116, 127, 138, 149

a = 2:

c = 10 + b > 9 \text{ — невозможно}

a = 2: c = 10 + b > 9 \text{ — невозможно}

Ответ:

105, 116, 127, 138, 149

Задачи на делимость

Пример 3: Делимость на составное число

Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 дает остаток 2, при делении на 4 дает остаток 3, и т.д., при делении на 10 дает остаток 9.

Шаг 1: Анализ условия

N \equiv 1 \pmod{2} \Rightarrow N + 1 \equiv 0

N \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow N + 1 \equiv 0 \

\cdots

N \equiv 9 \pmod{10} \Rightarrow N + 1 \equiv 0

Шаг 2: Обобщение

N + 1 \text{ делится на } 2, 3, 4, \dots, 10

\Rightarrow N + 1 = \text{НОК}(2,3,4,\dots,10)

Шаг 3: Вычисление НОК

\text{НОК}(2,3,4,5,6,7,8,9,10) =

= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 =

= 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 2520

\text{НОК}(2,3,4,5,6,7,8,9,10) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 2520

N = 2520 - 1 = 2519

Ответ:

2519

Задачи на прогрессии и последовательности

Пример 4: Арифметическая прогрессия с особыми свойствами

Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 13 дают остаток 5.

Шаг 1: Представление чисел

N = 13k + 5, \quad 100 \leq N \leq 999

100 \leq 13k + 5 \leq 999

95 \leq 13k \leq 994

7.3 \leq k \leq 76.5 \Rightarrow k = 8, 9, \dots, 76

Шаг 2: Характеристика последовательности

\text{Первое число: } 13 \cdot 8 + 5 = 109

\text{Последнее число: } 13 \cdot 76 + 5 = 993

\text{Количество чисел: } 76 - 8 + 1 = 69

Шаг 3: Сумма арифметической прогрессии

S = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{(109 + 993) \cdot 69}{2}

S = \frac{1102 \cdot 69}{2} = 551 \cdot 69 = 38019

Ответ:

38019

Задачи на простые числа

Пример 5: Простые числа с особыми свойствами

Найдите все простые числа p, для которых число $p^2 + 14$ также является простым.

Шаг 1: Проверка малых простых чисел

p = 2: 2^2 + 14 = 4 + 14 = 18

не простое

p = 2: 2^2 + 14 = 4 + 14 = 18 \text{ — не простое}

p = 3: 3^2 + 14 = 9 + 14 = 23

не простое

p = 3: 3^2 + 14 = 9 + 14 = 23 \text{ — простое}

p = 5: 5^2 + 14 = 25 + 14 = 39

не простое

p = 5: 5^2 + 14 = 25 + 14 = 39 \text{ — не простое}

p = 7: 7^2 + 14 = 49 + 14 = 63

не простое

p = 7: 7^2 + 14 = 49 + 14 = 63 \text{ — не простое}

Шаг 2: Анализ для p > 3

\text{Все простые числа } p > 3

\text{ имеют вид } 6k \pm 1

\text{Все простые числа } p > 3 \text{ имеют вид } 6k \pm 1

\text{Тогда } p^2 \equiv 1 \pmod{3}

p^2 + 14 \equiv 1 + 2 = 0 \pmod{3}

\Rightarrow p^2 + 14 \text{ делится на 3 при } p > 3

Шаг 3: Исключение p = 3

\text{При } p = 3 \text{ получаем }

23 \text{ — простое число}

\text{При } p = 3 \text{ получаем } 23 \text{ — простое число}

Ответ:

3

Методы решения задач на числа и их свойства

Аналитические методы

• Представление числа в десятичной системе
• Использование признаков делимости
• Работа с остатками от деления
• Применение сравнений по модулю
• Метод перебора с оценками
• Использование свойств НОД и НОК

Тактические приемы

• Ограничение перебора с помощью оценок
• Рассмотрение остатков от деления
• Анализ четности/нечетности
• Использование свойств прогрессий
• Разложение на множители
• Доказательство от противного

Типичные ошибки при решении задач на числа

Логические ошибки

• Неполный перебор возможных случаев
• Неучет ограничений на цифры (0-9)
• Неправильное представление многозначных чисел
• Путаница с остатками от деления
• Неправильное применение признаков делимости

Вычислительные ошибки

• Арифметические ошибки в вычислениях
• Неправильное нахождение НОД и НОК
• Ошибки в формулах прогрессий
• Неправильная работа с модульной арифметикой
• Потеря решений при переборе

Практические советы по решению задач на числа

Стратегия решения

• Внимательно прочитайте условие
• Правильно представьте число в десятичной системе
• Выявите все ограничения на цифры
• Используйте признаки делимости
• Рассмотрите остатки от деления
• Применяйте метод ограниченного перебора

Проверка решения

• Проверьте все найденные числа
• Убедитесь, что учтены все случаи
• Проверьте соответствие условию
• Убедитесь в полноте ответа
• Проверьте вычисления
• Запишите ответ в требуемой форме

Полезные формулы и свойства

Формулы представления чисел

\overline{ab} = 10a + b

\overline{abc} = 100a + 10b + c

\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d

\overline{aabb} = 1100a + 11b = 11(100a + b)

Свойства делимости

a \mid b \text{ и } a \mid c \Rightarrow a \mid (b \pm c)

a \mid b \Rightarrow a \mid bc

\text{Если } p \text{ — простое и } p \mid ab \Rightarrow p \mid a \text{ или } p \mid b

\text{НОД}(a,b) \cdot \text{НОК}(a,b) = a \cdot b