Уравнения в ЕГЭ по математике (задание №13)

Уравнения в профильном ЕГЭ

Задание №13 профильного ЕГЭ по математике содержит сложные уравнения различных типов. Для успешного решения необходимо владеть методами преобразования и решения уравнений, учитывать ОДЗ.

🎯 Баллы: За правильное решение уравнения можно получить 2 первичных балла.

Тригонометрические уравнения

Основные методы решения

1. Разложение на множители

2. Однородные уравнения

3. Метод вспомогательного угла

4. Универсальная подстановка

Пример 1: Разложение на множители

Решить уравнение: sin⁡2x−sin⁡x=0 \sin^2 x - \sin x = 0

Шаг 1: Выносим общий множитель

sin⁡x(sin⁡x−1)=0 \sin x(\sin x - 1) = 0

Шаг 2: Решаем два уравнения

sin⁡x=0⇒x=πn,n∈Z \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} sin⁡x=1⇒x=π2+2πk,k∈Z \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}

Ответ:

x=πn,x=π2+2πk,n,k∈Z x = \pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad n,k \in \mathbb{Z}

Пример 2: Однородное уравнение

Решить уравнение: 3sin⁡2x−4sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=0 3\sin^2 x - 4\sin x \cos x + \cos^2 x = 0

Шаг 1: Делим на cos²x (cosx ≠ 0)

3tan⁡2x−4tan⁡x+1=0 3\tan^2 x - 4\tan x + 1 = 0

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение

tan⁡x=t:3t2−4t+1=0 \tan x = t: \quad 3t^2 - 4t + 1 = 0 t1,2=4±16−126=4±26 t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6} t1=1,t2=13 t_1 = 1, \quad t_2 = \frac{1}{3}

Шаг 3: Возвращаемся к x

tan⁡x=1⇒x=π4+πn \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n tan⁡x=13⇒x=arctan⁡13+πk \tan x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \arctan\frac{1}{3} + \pi k

Ответ:

x=π4+πn,x=arctan⁡13+πk x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = \arctan\frac{1}{3} + \pi k

Показательные уравнения

Пример 1: Вынесение общего множителя

Решить уравнение: 2x+1+2x−1=5 2^{x+1} + 2^{x-1} = 5

Шаг 1: Выносим общий множитель

2x⋅2+2x2=5 2^x \cdot 2 + \frac{2^x}{2} = 5 2x(2+12)=5 2^x \left(2 + \frac{1}{2}\right) = 5 2x⋅52=5 2^x \cdot \frac{5}{2} = 5

Шаг 2: Решаем уравнение

2x=2 2^x = 2 x=1 x = 1

Ответ:

x=1 x = 1

Пример 2: Замена переменной

Решить уравнение: 4x−3⋅2x+2=0 4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0

Шаг 1: Замена переменной

t=2x,t>0 t = 2^x, \quad t > 0 t2−3t+2=0 t^2 - 3t + 2 = 0

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение

t1=1,t2=2 t_1 = 1, \quad t_2 = 2

Шаг 3: Возвращаемся к x

2x=1⇒x=0 2^x = 1 \Rightarrow x = 0 2x=2⇒x=1 2^x = 2 \Rightarrow x = 1

Ответ:

x=0,x=1 x = 0, \quad x = 1

Логарифмические уравнения

Пример 1: Потенцирование

Решить уравнение: log⁡2(x+3)=3 \log_2(x+3) = 3

Шаг 1: Находим ОДЗ

x+3>0⇒x>−3 x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3

Шаг 2: Потенцируем

x+3=23 x + 3 = 2^3 x+3=8 x + 3 = 8 x=5 x = 5

Шаг 3: Проверяем ОДЗ

5>−3⇒корень подходит 5 > -3 \Rightarrow \text{корень подходит}

Ответ:

x=5 x = 5

Пример 2: Логарифмирование

Решить уравнение: log⁡3(x−1)+log⁡3(x+1)=1 \log_3(x-1) + \log_3(x+1) = 1

Шаг 1: Находим ОДЗ

{x−1>0x+1>0⇒x>1 \begin{cases} x-1 > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 1

Шаг 2: Сумма логарифмов

log⁡3[(x−1)(x+1)]=1 \log_3[(x-1)(x+1)] = 1 log⁡3(x2−1)=1 \log_3(x^2-1) = 1

Шаг 3: Потенцируем

x2−1=3 x^2 - 1 = 3 x2=4 x^2 = 4 x=±2 x = \pm 2

Шаг 4: Отбираем корни по ОДЗ

x>1⇒x=2 x > 1 \Rightarrow x = 2

Ответ:

x=2 x = 2

Смешанные уравнения

Пример 1: Показательно-степенное уравнение

Решить уравнение: xlog⁡2x=8x2 x^{\log_2 x} = 8x^2

Шаг 1: Находим ОДЗ

x>0,x≠1 x > 0, \quad x \neq 1

Шаг 2: Логарифмируем обе части

log⁡2(xlog⁡2x)=log⁡2(8x2) \log_2(x^{\log_2 x}) = \log_2(8x^2) log⁡2x⋅log⁡2x=log⁡28+log⁡2x2 \log_2 x \cdot \log_2 x = \log_2 8 + \log_2 x^2 (log⁡2x)2=3+2log⁡2x (\log_2 x)^2 = 3 + 2\log_2 x

Шаг 3: Замена переменной

t=log⁡2x t = \log_2 x t2−2t−3=0 t^2 - 2t - 3 = 0 t1=−1,t2=3 t_1 = -1, \quad t_2 = 3

Шаг 4: Возвращаемся к x

log⁡2x=−1⇒x=2−1=12 \log_2 x = -1 \Rightarrow x = 2^{-1} = \frac{1}{2} log⁡2x=3⇒x=23=8 \log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8

Ответ:

x=12,x=8 x = \frac{1}{2}, \quad x = 8

Пример 2: Уравнение с модулем

Решить уравнение: ∣x−2∣+∣x+3∣=7 |x-2| + |x+3| = 7

Шаг 1: Находим критические точки

x=−3,x=2 x = -3, \quad x = 2

Шаг 2: Рассматриваем интервалы

1. x < -3:

−(x−2)−(x+3)=7 -(x-2) - (x+3) = 7 −2x−1=7⇒x=−4 -2x - 1 = 7 \Rightarrow x = -4

2. -3 ≤ x <2:

−(x−2)+(x+3)=7 -(x-2) + (x+3) = 7 5=7⇒нет решений 5 = 7 \Rightarrow \text{нет решений}

3. x ≥ 2:

(x−2)+(x+3)=7 (x-2) + (x+3) = 7 2x+1=7⇒x=3 2x + 1 = 7 \Rightarrow x = 3

Ответ:

x=−4,x=3 x = -4, \quad x = 3

Иррациональные уравнения

Пример: Уравнение с квадратным корнем

Решить уравнение: 2x+8=x+2 \sqrt{2x+8} = x + 2

Шаг 1: Находим ОДЗ

2x+8≥0⇒x≥−4 2x + 8 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4 x+2≥0⇒x≥−2 x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 ОДЗ: x≥−2 \text{ОДЗ: } x \geq -2

Шаг 2: Возводим в квадрат

(2x+8)2=(x+2)2 (\sqrt{2x+8})^2 = (x+2)^2 2x+8=x2+4x+4 2x + 8 = x^2 + 4x + 4 x2+2x−4=0 x^2 + 2x - 4 = 0

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

D=4+16=20 D = 4 + 16 = 20 x1,2=−2±202=−1±5 x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}

Шаг 4: Отбираем корни по ОДЗ

x1=−1−5≈−3.24<−2⇒ x_1 = -1 - \sqrt{5} \approx -3.24 < -2 \Rightarrow ⇒не подходит \Rightarrow \text{не подходит}
x2=−1+5≈1.24>−2⇒ x_2 = -1 + \sqrt{5} \approx 1.24 > -2 \Rightarrow ⇒подходит \Rightarrow \text{подходит}

Ответ:

x=−1+5 x = -1 + \sqrt{5}

Общие методы решения уравнений

Алгоритм решения

  1. 1. Найти ОДЗ уравнения
  2. 2. Определить тип уравнения
  3. 3. Выбрать подходящий метод решения
  4. 4. Выполнить преобразования
  5. 5. Решить полученное уравнение
  6. 6. Отобрать корни по ОДЗ
  7. 7. Записать ответ

Ключевые моменты

  • • Всегда проверяйте ОДЗ
  • • Для тригонометрических уравнений учитывайте периодичность
  • • При возведении в квадрат проверяйте корни
  • • Для логарифмических уравнений проверяйте основание
  • • При замене переменной не забывайте вернуться к исходной

Типичные ошибки при решении уравнений

Ошибки в ОДЗ

  • • Забывают найти ОДЗ
  • • Неправильно определяют ОДЗ для логарифмов
  • • Не учитывают ОДЗ при возведении в квадрат
  • • Забывают проверить корни в ОДЗ

Вычислительные ошибки

  • • Арифметические ошибки
  • • Ошибки в преобразованиях
  • • Потеря корней
  • • Появление посторонних корней
  • • Неправильная замена переменной