Экономические задачи ЕГЭ (задание №16)

Экономические задачи в ЕГЭ по математике

Задание №16 профильного ЕГЭ по математике — это экономическая задача повышенной сложности. Для успешного решения необходимо владеть математическим моделированием и финансовой математикой.

🎯 Максимальный балл: За правильное решение можно получить 2 первичных балла.

Основные типы экономических задач

Банковские вклады

Задачи на расчет суммы вклада с процентами

Простые и сложные проценты

Кредиты и займы

Аннуитетные и дифференцированные платежи

Оптимизация выплат

Оптимизация прибыли

Максимизация дохода предприятия

Производственные функции

Минимизация затрат

Задачи на оптимальное распределение ресурсов

Логистика и производство

Задачи на банковские вклады

Формула сложных процентов

S=P⋅(1+r100)n S = P \cdot (1 + \frac{r}{100})^n

Обозначения:

  • • S — конечная сумма
  • • P — начальный вклад
  • • r — процентная ставка
  • • n — количество периодов

Пример задачи

"Вкладчик положил в банк 100 000 руб. под 10% годовых. Какая сумма будет через 3 года?"

Вклады с пополнением

S=P⋅(1+r100)n+D⋅(1+r100)n−1r100 S = P \cdot (1 + \frac{r}{100})^n + D \cdot \frac{(1 + \frac{r}{100})^n - 1}{\frac{r}{100}}

D — сумма регулярного пополнения

Задачи на кредиты

Аннуитетные платежи

A=S⋅i⋅(1+i)n(1+i)n−1 A = S \cdot \frac{i \cdot (1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1}

Где:

  • • A — ежемесячный платеж
  • • S — сумма кредита
  • • i — месячная ставка (r/12/100)
  • • n — количество месяцев

Особенности

Платежи одинаковые каждый месяц, сначала платятся проценты

Дифференцированные платежи

Основной платеж

P=Sn P = \frac{S}{n}

Платеж по процентам

Ik=S−P⋅(k−1)12⋅r100 I_k = \frac{S - P \cdot (k-1)}{12} \cdot \frac{r}{100}

Платежи уменьшаются со временем, основной долг платится равными долями

Оптимизационные задачи

Максимизация прибыли

π(x)=R(x)−C(x)→max⁡ \pi(x) = R(x) - C(x) \to \max

Выручка

R(x)=p⋅x R(x) = p \cdot x

Затраты

C(x)=FC+VC⋅x C(x) = FC + VC \cdot x

Прибыль

π(x)=R(x)−C(x) \pi(x) = R(x) - C(x)

Метод решения

1
Составить функцию прибыли
2
Найти производную
3
Приравнять к нулю
4
Проверить границы области

Стратегия решения экономических задач

Алгоритм решения

  1. 1. Внимательно прочитать условие
  2. 2. Выделить ключевые параметры
  3. 3. Составить математическую модель
  4. 4. Записать уравнения или неравенства
  5. 5. Решить математическую задачу
  6. 6. Проверить адекватность ответа
  7. 7. Записать ответ в требуемой форме

Типичные ошибки

  • • Неправильный выбор формулы
  • • Ошибки в процентных расчетах
  • • Неучет всех условий задачи
  • • Арифметические ошибки
  • • Неправильная интерпретация ответа

Полезные формулы и обозначения

Финансовые обозначения

  • • PV — Present Value (текущая стоимость)
  • • FV — Future Value (будущая стоимость)
  • • r — годовая процентная ставка
  • • i — месячная ставка (r/12)
  • • n — количество периодов
  • • FC — Fixed Costs (постоянные издержки)
  • • VC — Variable Costs (переменные издержки)

Ключевые формулы

Процент=ЧастьЦелое⋅100% \text{Процент} = \frac{\text{Часть}}{\text{Целое}} \cdot 100\%
Прибыль=Выручка−Затраты \text{Прибыль} = \text{Выручка} - \text{Затраты}
Рентабельность=ПрибыльЗатраты⋅100% \text{Рентабельность} = \frac{\text{Прибыль}}{\text{Затраты}} \cdot 100\%

Разбор экономических задач ЕГЭ

Подробный разбор задач №16 из ЕГЭ

Рассмотрим по одной задаче каждого типа с полным решением и комментариями.

💡 Важно: Каждое решение содержит пошаговые объяснения и математические выкладки.

Задача на банковские вклады

Условие задачи

"31 декабря 2022 года Пётр взял в банке 1 000 000 рублей под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Пётр переводит в банк некоторую сумму (транш). Какую сумму Пётр должен выплатить банку, чтобы через 3 года его долг составил 550 000 рублей?"

Шаг 1: Понимание условия

Это задача на дифференцированные платежи. После каждого платежа долг уменьшается, и проценты начисляются на остаток.

Шаг 2: Математическая модель

Обозначим:

  • • S = 1 000 000 руб. — начальная сумма
  • • r = 10% — годовая ставка
  • • X — ежегодный платеж (одинаковый каждый год)
  • • D₃ = 550 000 руб. — долг после 3 лет

Шаг 3: Расчет по годам

После 1 года:

D1=1.1⋅1000000−X=1100000−X D_1 = 1.1 \cdot 1000000 - X = 1100000 - X

После 2 года:

D2=1.1⋅(1100000−X)−X=1210000−2.1X D_2 = 1.1 \cdot (1100000 - X) - X = 1210000 - 2.1X

После 3 года:

D3=1.1⋅(1210000−2.1X)−X=1331000−3.31X D_3 = 1.1 \cdot (1210000 - 2.1X) - X = 1331000 - 3.31X

Шаг 4: Решение уравнения

1331000−3.31X=550000 1331000 - 3.31X = 550000 3.31X=1331000−550000 3.31X = 1331000 - 550000 3.31X=781000 3.31X = 781000 X=7810003.31=236000 X = \frac{781000}{3.31} = 236000

Ответ

Ежегодный платеж: 236 000 рублей

Общая сумма выплат: 3 × 236 000 = 708 000 рублей

Задача на кредиты (аннуитетные платежи)

Условие задачи

"15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму следует взять в кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1 200 000 рублей?"

Шаг 1: Анализ условий

Это задача на дифференцированные платежи с ежемесячным уменьшением долга на постоянную величину.

Шаг 2: Математическая модель

Пусть S — сумма кредита. Тогда:

  • • Ежемесячное уменьшение долга: d = S/24
  • • Долг на начало k-го месяца: S - (k-1)d
  • • Проценты за k-й месяц: 0.02 × [S - (k-1)d]

Шаг 3: Сумма всех выплат

Выплаты=S+∑k=1240.02⋅[S−(k−1)d] \text{Выплаты} = S + \sum_{k=1}^{24} 0.02 \cdot [S - (k-1)d]
=S+0.02⋅[24S−d⋅∑k=124(k−1)] = S + 0.02 \cdot \left[24S - d \cdot \sum_{k=1}^{24} (k-1)\right] =S+0.02⋅[24S−S24⋅23⋅242] = S + 0.02 \cdot \left[24S - \frac{S}{24} \cdot \frac{23 \cdot 24}{2}\right] =S+0.02⋅[24S−11.5S] = S + 0.02 \cdot \left[24S - 11.5S\right]
=S+0.02⋅12.5S=S+0.25S=1.25S = S + 0.02 \cdot 12.5S = S + 0.25S = 1.25S

Шаг 4: Нахождение суммы кредита

1.25S=1200000 1.25S = 1200000 S=12000001.25=960000 S = \frac{1200000}{1.25} = 960000

Ответ

Сумма кредита: 960 000 рублей

Общая сумма выплат превышает кредит на 25%

Задача на оптимизацию прибыли

Условие задачи

"Производство x тыс. единиц продукции стоит 10x + 10 млн рублей в год. Цена продукции составляет 50 - 0.5x тыс. рублей за единицу. При каком значении x прибыль предприятия будет наибольшей?"

Шаг 1: Функция выручки

R(x)=x⋅(50−0.5x)=50x−0.5x2 R(x) = x \cdot (50 - 0.5x) = 50x - 0.5x^2

(количество × цена за единицу)

Шаг 2: Функция затрат

C(x)=10x+10 C(x) = 10x + 10

Шаг 3: Функция прибыли

P(x)=R(x)−C(x)=(50x−0.5x2)−(10x+10) P(x) = R(x) - C(x) = (50x - 0.5x^2) - (10x + 10)
P(x)=−0.5x2+40x−10 P(x) = -0.5x^2 + 40x - 10

Шаг 4: Нахождение максимума

P′(x)=−x+40 P'(x) = -x + 40 −x+40=0 -x + 40 = 0 x=40 x = 40

Так как P'(50)< 0, а P'(30)> 0, это точка максимума

Ответ

x = 40 тыс. единиц

Максимальная прибыль достигается при производстве 40 000 единиц продукции

Задача на минимизацию затрат

Условие задачи

"Предприятие производит 1000 единиц продукции. Затраты на производство x единиц составляют C(x) = x² + 20x + 5000 рублей. Транспортные расходы составляют 10 рублей за единицу. При каком объеме производства x средние затраты на единицу продукции будут минимальными?"

Шаг 1: Функция общих затрат

TC(x)=C(x)+10x=x2+20x+5000+10x TC(x) = C(x) + 10x = x^2 + 20x + 5000 + 10x
TC(x)=x2+30x+5000 TC(x) = x^2 + 30x + 5000

Шаг 2: Функция средних затрат

AC(x)=TC(x)x=x2+30x+5000x AC(x) = \frac{TC(x)}{x} = \frac{x^2 + 30x + 5000}{x} AC(x)=x+30+5000x AC(x) = x + 30 + \frac{5000}{x}

Шаг 3: Нахождение минимума

AC′(x)=1−5000x2 AC'(x) = 1 - \frac{5000}{x^2} 1−5000x2=0 1 - \frac{5000}{x^2} = 0 5000x2=1 \frac{5000}{x^2} = 1 x2=5000 x^2 = 5000 x=5000=502≈70.71 x = \sqrt{5000} = 50\sqrt{2} \approx 70.71

Шаг 4: Проверка условий

Так как AC'(60) < 0, AC'(80) > 0 , это (70.71) точка минимума. Учитывая, что нужно произвести 1000 единиц, оптимальный объем производства — 70.71 единиц.

Ответ

x ≈ 71 единица

Средние затраты минимальны при производстве около 71 единицы продукции

Рекомендации по решению

Ключевые моменты

  • • Всегда начинайте с внимательного чтения условия
  • • Выписывайте все данные и обозначения
  • • Для кредитных задач определите тип платежей
  • • Для оптимизационных задач найдите производную
  • • Проверяйте адекватность полученного ответа

Типичные сложности

  • • Неправильное определение типа платежей
  • • Ошибки в арифметических вычислениях
  • • Забывают проверить найденный экстремум
  • • Не учитывают все условия задачи
  • • Округление на промежуточных шагах